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期末押题卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．（2024高一下·江岸期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高一下·梅州期末）设m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若．则
D．若，则
3．（2024高一下·济南期末）在中，记，，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·南宁期末）在中，，则(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高一下·云南期末）如图，在中，若为上一点，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·湖州期末）某中学有初中生700人，高中生300人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从初中生中抽取35人，则样本容量为（　　）
A．5 B．30 C．50 D．100
7．（2024高一下·新会期末）底面积为，侧面积为的圆锥的体积是(　　)
A． B． C． D．
8．（2024高一下·百色期末）如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（　　）
A．30米 B．米 C．米 D．米
二、多项选择题
9．（2021高一下·沈阳期末）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．
B．复数 的虚部为
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足 ，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．（2023高一下·电白期末）已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（　　）
A．面积的最大值为
B．
C．周长的最大值为6
D．的取值范围为
11．（2024高一下·杭州期末）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最大值为
三、填空题
12．（2024高一下·成都期末）已知为共线向量，且，则　 　.
13．（2024高一下·浙江期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为　 　.
14．（2024高一下·河北期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则　 　，四面体的外接球的表面积为　 　.
四、解答题
15．（2022高一下·潮州期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.
（1）求实数a的值；
（2）若，求复数的模.
16．（2024高一下·顺义期末）已知，是两个单位向量，其夹角为，，．
（1）求，；
（2）求与的夹角．
17．（2025高一上·泸州期末）某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中，时长落在区间内的人数为200．
（1）求出直方图中的值；
（2）估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，求各层中被抽到的人数.
18．（2024高一下·东西湖期末）在中，为角对应的边，为的面积.且.
（1）求；
（2）若，求内切圆半径的最大值.
19．（2024高一下·唐县期末）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，点在线段上.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）证明：存在点，使得平面，并求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,D
12．【答案】6
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：由已知得：，且是纯虚数
，∵，∴.
（2）解：由（1）得：，∴
∴.
16．【答案】（1）；
（2）.
17．【答案】（1）
（2）中位数为，平均数为
（3）时长在的抽取人，时长在的抽取人，
18．【答案】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；

（2）设内切圆的半径为，
则，
所以，
又，所以，
则，
由，得，
当且仅当时取等号，
所以，
即内切圆半径的最大值为.
19．【答案】（1）证明：设，连接，如图所示：
由题意可知：为中点，
在矩形中，为的中点，则且，
可得为平行四边形，则，
且平面，平面，所以平面；
（2）解：在平面中，过作于，连接，如图所示：
因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，
且，平面平面，平面，
可得平面，平面，则，
且，，平面，
所以平面，平面，可得，
且，平面，所以平面，
又平面，所以，可知是二面角的平面角，
因为，，则，
可得，
在中，，，则，
则二面角的正切值为；
（3）证明：连接交于点，如图所示：
因为是正方形，所以，
又正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，平面，
则平面，平面，可得，
当时，，平面，所以平面，
此时，，，则，
又，所以，则，则，
所以，又，所以，则，
可得，则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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