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(共34张PPT)
15.3 等腰三角形
15.3.1 等腰三角形
（第1课时）
人教版 数学 八年级 上册
导入新知
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形。
1. 探索并掌握等腰三角形的两个性质．
2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
素养目标
如图,在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开.找出其中重合的线段和角.
探究新知
等腰三角形的性质
知识点
A
B
C
D
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
探究新知
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
【思考】如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
探究新知
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △ABD≌ △ACD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△ABD和△ACD中,
方法一：作底边上的中线.
还有其他的证法吗？
探究新知
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △ABD ≌ △ACD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△ABD和△ACD中,
探究新知
由△ABD≌ △ACD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△ABD≌ △ACD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高 .
A
B
C
D
探究新知
【想一想】
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(三线合一）.
即：等腰三角形
顶角平分线
底边上的高
底边上的中线
具备其中一条
另外两条成立
探究新知
归纳总结
等腰三角形的性质：
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
探究新知
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
三线合一
探究新知
不重合
【思考】
为什么不一样？
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.
（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.
（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.
（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
明辨是非.
（ ）
巩固练习
×
×
×
√
×
√
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
探究新知
等腰三角形性质的应用
素养考点 1
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
探究新知
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
探究新知
探究新知
方法点拨
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
巩固练习
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
探究新知
等腰三角形的分类讨论问题
素养考点 2
方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 _______；
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
巩固练习
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
探究新知
利用等腰三角形的性质证明线段间的关系
素养考点 3
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于点G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG.
∴BG–DG＝CG–EG.
∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF.
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
探究新知
探究新知
方法点拨
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其底边上的中线、底边上的高、顶角平分线是常见的辅助线．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
巩固练习
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°– ∠BAC) ＝
(180°– 50°)＝65°.
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
巩固练习
2.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为_____．
100°
1.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．
C
链接中考
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ 　）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
基础巩固题
课堂检测
1
3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为_______；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
45°, 90°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
课堂检测
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
课堂检测
A
B
C
D
A
B
C
D
1.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，
∴ ∠C= ∠B=30°.
∵BD = CD，∴AD⊥BC.
∴∠ADB=∠ADC = 90°.
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
能力提升题
课堂检测
2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F. ∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
课堂检测
A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
A
B
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓广探索题
课堂检测
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指底边上的中线、高及顶角平分线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
易错点拨
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论
（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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