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15.3 等腰三角形
15.3.2 等边三角形
（第1课时）
人教版 数学 八年级 上册
图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
导入新知
素养目标
1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.探索等边三角形的性质和判定．
3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
等边三角形的性质
探究新知
知识点 1
10cm
6cm
10cm
10cm
10cm
10cm
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
探究新知
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两边相等的三角形是等腰三角形
探究新知
A
B
C
A
B
C
等边三角形的三个角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为180°
=60°
探究新知
问题1：
结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
探究新知
A
B
C
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
底边上的中线、
底边上的高、
顶角平分线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
探究新知
问题2：
图形 等腰三角形
　性 质
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角平分线重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
探究新知
归纳总结
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
探究新知
等边三角形的性质应用
素养考点
探究新知
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
方法点拨
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
巩固练习
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN.
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
探究新知
探究新知
方法点拨
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
巩固练习
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°.
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探究新知
等边三角形的判定
知识点 2
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
巩固练习
例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB,AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
探究新知
等边三角形的判定的应用
素养考点
　证明：∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴　∠A =∠ADE =∠AED.
∴　△ADE 是等边三角形.
若点D,E 在边AB,AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
巩固练习
变式训练
若点D,E 在边AB,AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B =∠D，∠C =∠E．
∴∠EAD =∠D =∠E．
∴△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
巩固练习
变式训练
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60°.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE= ∠ AED= 60°.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
巩固练习
变式训练
例2在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS).
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.
∴△APQ是等边三角形．
探究新知
探究新知
方法点拨
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°.
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF,
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.
∴DF=ED=EF.
∴△DEF是等边三角形．
如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．
巩固练习
如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l , m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
链接中考
B
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
C
B
D
E
O
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
B
基础巩固题
课堂检测
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
12
B
课堂检测
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于点F．求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°.
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°.
∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
课堂检测
如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
解：
∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A,O,D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°.
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴∠AEB=∠AOB=60°.
C
B
O
D
A
E
F
能力提升题
课堂检测
图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
图①
图②
拓广探索题
课堂检测
解：(1)AN＝BM.
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
图①
课堂检测
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCB=60°，
∴∠MCF=60°.
∴∠ACE=∠MCF.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
图②
课堂检测
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边都相等
三角都相等
有一个角是60°的等腰三角形
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
七彩课堂 伴你成长

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