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15.3 等腰三角形
15.3.2 等边三角形
（第2课时）
人教版 数学 八年级 上册
拿出一个含30°角的三角尺，测量它的较短的直角边和斜边，看看它们有什么数量关系？
导入新知
做一做:
素养目标
1.探索含30°角的直角三角形的性质．
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论
探究新知
含30°角的直角三角形的性质
知识点
A
B
C
30°
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半.
再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？
证明你的结论.
方法一：
证明：延长BC 到D，使CD =BC，连接AD.
则AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD.
又∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°．
∴△ABD 是等边三角形．
∴BD=AB.
又∵BD=2BC,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC = AB．　　
探究新知
探究新知
方法点拨
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
E
A
B
C
方法二：
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC. ∴ AE=BE=BC.
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
探究新知
探究新知
方法点拨
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
探究新知
归纳总结
应用格式：
∴　BC = AB．　　
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°.
∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
探究新知
利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值
素养考点 1
A
B
C
D
△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于点A，BD=9.6cm，则AD= .
B
C
D
B
C
D
A
A
巩固练习
如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.
4.8cm
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2 C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO.
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
E
C
探究新知
探究新知
归纳总结
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
解析：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4×=2.
同理可得BD=BC=2× =1.
巩固练习
已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
)
∴CD= AC= ×20=10.
巩固练习
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).
探究新知
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
探究新知
探究新知
归纳总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？　　　
解：∵∠B+∠A =180°– ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
巩固练习
例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，求立柱BC,DE 的长.
A
B
C
D
E
探究新知
利用直角三角形的性质解决实际问题
素养考点 2
图中BC,DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
探究新知
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC链接中考
解析：在Rt△CB′E中，∠CB′E=30°，
∴B′E=2CE=6.
由折叠得BE=B′E=6.
∴BC=BE+CE=6+3=9.
9
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
B
B
基础巩固题
课堂检测
3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .
5
4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=
______cm.
8
A
C
B
课堂检测
1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°.
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
能力提升题
课堂检测
2.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3AE.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.∴∠B+∠BAD=90°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°.∴∠ADE+∠BAD=90°.
∴∠ADE=∠B=30°.∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
课堂检测
如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
∴△ADC≌△BEA（SAS）.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°.
∵CD=AE，
拓广探索题
课堂检测
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠BAP+∠ABE=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30°.
∴∠BQP=90°.
课堂检测
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
①分清30 °的角所在的直角边
②作辅助线，构造直角三角形
注意
前提条件：直角三角形中
证题方法
倍长法
截半法
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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