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(共30张PPT)
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
（第1课时）
人教版 数学 八年级 上册
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗
实际问题1
导入新知
A
B
L
实际问题2
在某路段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？
导入新知
3.了解互逆命题、互逆定理的概念.
1. 理解线段垂直平分线的性质和判定．
2. 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
素养目标
　　你能用不同的方法验证这一结论吗？
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 ……到点A 与点B 的距离之间的数量关系.
相等．
A
B
l
P1
P2
P3
探究新知
线段的垂直平分线的性质定理
知识点 1
猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
　　求证：PA =PB．
A
B
P
C
l
探究新知
猜想与证明
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
证明：当点P与点C不重合时，
∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
探究新知
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
探究新知
归纳总结
例 如图，在△ABC中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC 于点E，则△ADE 的周长等于___．
A
B
C
D
E
8
探究新知
线段垂直平分线的性质定理的应用
素养考点
解：∵AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴AB =AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
∴AC =CE．
如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
A
B
C
D
E
巩固练习
∴AB =AC =CE．
∵AB =CE，BD =DC，
∴AB +BD =CD +CE．即AB +BD =DE.
把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
成立.点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
P
A
B
C
探究新知
线段的垂直平分线的判定定理
知识点 2
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
探究新知
用数学符号表示为：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
　　与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
C
探究新知
这些点能组成什么几何图形？
　　 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．
P
A
B
C
l
探究新知
试一试：
例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.
证明：∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
又AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
即A，O均在BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC.
探究新知
线段垂直平分线的判定定理的应用
素养考点
如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC．
求证：点O在 BC的垂直平分线上.
A
B
C
O
N
巩固练习
∴点O在BC的垂直平分线上.（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
A
B
C
O
N
证明：连接OB.
∵ ON是AB的垂直平分线,（已知）
∴ OA=OB.（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）
∵ OA=OC,（已知）
∴ OB=OC.（等量代换）
巩固练习
探究新知
互逆命题与互逆定理
知识点 3
命题1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
命题2：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
观察上面两个命题，它们的题设和结论有什么关系？
这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两种命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
你还学习过其他具有类似关系的命题吗？请举例.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
探究新知
归纳总结
写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
巩固练习
（1）两直线平行，同位角相等；
逆命题：同位角相等，两直线平行.
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
（3）全等三角形的对应角相等.
逆命题：对应角相等的三角形全等.
总结：原命题成立时，逆命题不一定成立.
成立.
不成立.
不成立.
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50cm,则AC+BC=（　　）
A．25cm B．45cm
C．50cm D．55cm
2.如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE // AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC，求证:BA=BE.
链接中考
C
链接中考
证明：（1）∵点D为BC边的中点，
∴BD=CD.
∵BE∥AC,
∴∠E=∠CAD,∠EBD=∠C.
∴△BDE≌△CDA（AAS）.
（2）∵ △BDE≌△CDA，
∴BE=AC.
∵ AD⊥BC，点D为BC边的中点，
∴AD垂直平分BC.
∴BA=BC.
∴BA=BE.
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)
A．5 cm　　 B．10 cm　　
C．15 cm　　 D．17.5 cm
基础巩固题
C
课堂检测
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
C
C
课堂检测
3．下列命题:①若a>b+1，则a>b;②若ab=0，则a=0或b=0;③若a=b，则|a|=|b|;④若a>b,则>.其逆命题是真命题的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
4．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm.
7.8
5. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝
BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平
分线上．
AC
1. 如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？
能力提升题
答：△ABC 三边垂直平分线的交点上.
课堂检测
2.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.
证明：∵点E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于点D，EC⊥
OA于点C，
∴ED＝EC.
在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，
∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）
∴OD＝OC.
∴O，E都在CD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分CD.
课堂检测
如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
拓广探索题
课堂检测
解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14 cm，
∴AC＋AD＋BD＝14 cm.
即AC＋AB＝14 cm.
设AB＝x cm，AC＝y cm.
根据题意，得 解得
∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.
线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
集合
定义
线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合
互逆命题
课堂小结
题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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