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2025届高三年级考前模拟训练（第2轮）
数学试题
考试时间：5月6日下午15：30-17：30
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．某高校全体大一新生参加一项体能测试，将测试结果转换为相应分值，满分为100分，统计发现得分．若得分在的学生有300人，则得分在的学生人数Y满足（ ）
A． B． C． D．
3．在所在平面内，点C满足，记，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，若劣弧与弦AB围成的图形面积为，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知抛物线C：，其准线为l，焦点为F，过的直线PQ与l和C从左到右依次相交于A，P，Q三点，且，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数是奇函数．若函数，，则（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
7．当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100mL血液中乙醇含量大于或等于20mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y（单位：mg/mL）与酒后代谢时间x（单位：h）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
10．下列说法正确的是（ ）
A．残差越小，模型的拟合效果越好
B．若随机变量，则
C．数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21
D．一组数的平均数为a，若再插入一个数a，则这个数的方差不变
11．设曲线C：，直线与曲线C的交点的可能个数的集合记为，则（ ）
A． B．
C． D．若，则且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．曲线在点处的切线方程是______．
13．设O为坐标原点，A为椭圆E：的上顶点，点B在E上，线段AB交x轴于点M．若，且，则E的离心率等于______．
14．数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵．数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端．由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行．设是从上往下数第k行中的最大数，则的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知，函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若，求a．
16．（本小题15分）如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，将沿EF翻折至，使得．
（1）证明：平面平面ABFE；
（2）求直线PB与平面PEF所成角的正弦值．
17．（本小题15分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为e．过点的直线l分别交C的左、右两支于，两点，且．
（1）求的值；
（2）求e的取值范围；
（3）若，证明：．
18．（本小题17分）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计
男性 50 10 x
女性 25 15 40
总计 y 25 100
（1）求x，y；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联
（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望．
附：，．
0.10 0.05 0.010 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
19．（本小题17分）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数，则称数列具有“性质p”．已知项数为n的数列的所有项之和为，且数列具有“性质p”．
（1）若，数列具有“性质2”，且，，写出的所有可能值；
（2）若数列具有“性质2”，且，，证明：“”是“”的充要条件；
（3）若数列具有“性质p”，其中p为奇数，，，，证明：或，（）．
2025届高三年级考前模拟训练（第2轮）
数学答案和解析
1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】B
7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】BD 10．【答案】AC 11．【答案】ACD
12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】
15．【答案】解：（1）函数的定义域，，
当时，由得，得，
所以，当时，在上是增函数，在上是减函数；
（2）当时，由知，函数为增函数，且，
所以不成立，当时，由（1）知，存在最大值，
由题意，，令，则，
当时，，是减函数，当时，，是增函数，
所以，则．
16．【答案】解：（1）连接BE，因为为等边三角形，E为AC中点，
所以，，，则，
又，且面PBE，面PBE，，
所以面PBE，又面ABFE，则平面平面ABFE；
（2）过点P作，垂足为H，
因为平面平面ABFE，且平面平面，面PBE，所以面ABFE，
又E，F分别为AC，BC中点，翻折后，
又，所以，由对称性可得，
又，则，故，所以，
设直线PB和平面PEF所成角为，点B到面PEF的距离为h，
由，得，
又，，所以，则．
17．【答案】解：（1）因为，所以，
因为，同号，即，所以，
又，则；
（2）设直线l为，
联立，得，
则，，，
因为直线l交C的左、右两支于、两点，所以，则，
由（1）知，即，
化简得，，
由，所以，即，则；
（3）当时，则，，所以，则
，
设、的中点为，则，，
因为，所以，则，所以，
由三线合一知，．
18．【答案】解：（1）由题意所给的列联表可得，；
（2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联．
根据列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）随机抽取1人购买B款车的概率为：，
X的可能取值有0，1，2，3，依题意，．
因此，．
19．【答案】解：（1）根据定义，有，所以或3；
同理可得或5．
因此有如下三种情况：
若为1，-1，1，3，此时；
若为1，3，5，3，此时；
若为1，3，1，3，此时．
综上，的所有可能值为4，8，12．
（2）证明：必要性：因为，又因为，
所以，故数列为等差数列，公差为2，
所以，必要性成立；
充分性：因为，，所以，，…，，
累加可得，，即，
因为，故上述不等式的每个等号都取到，
所以，所以，充分性成立；
综上所述，“”是“”的充要条件．
（3）证明：令，依题意，．
因为，，…，，
又因为，所以
．
因为，且p为奇数，所以为偶数（），
所以为偶数，
所以要使，必须使为偶数，即4整除，
亦即或，
当时，
比如，，，或，，时，有，；
当时，
比如，，，，
或，，，，有，；
或，，，，有，；
当或时，不能被4整除，．

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