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第二部分
初高中数学知识衔接
第2讲
根式、分式的化简
知识巩固延伸
ZHISHIGONGGUYANSHEN
1.知识巩固
2.知识延伸
(1)二次根式的定义
(1)无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽
一般地，形如va(a≥0)的式子叫做二次根式.
方的根式叫做无理式.例如：√x2一2W√x3一1是
(2)二次根式性质
无理式，而x不是无理式.
(2)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母
①（√a)2=a(a≥0）
有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因
②√a2=a=
a
(a≥0)
1
-a(a<0)
式.例如：
√x+1十√x
√x+1-√x(Wx+1-√x)(/x+1+√x)
③wab=√a·b(a≥0，b≥0)
x+I+√x.
mF-a>o6o
(3)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如
果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互
为有理化因式.常用的有理化因式有：
(3)分式
①√x+I十√x与x十I-√x
形如：含（其中B中含有字母）的式子叫作分式。
②Wx-√y与F+√y
(4)分式的基本性质
(4)繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有
1
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不
为0的整式，分式的值不变.用式子表示为：会
分式时，该分式就称为繁分式如：千或士
又x十y-1
A×NA÷N
等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进
BXNB÷N
N≠0).
行运算.
重点题型剖析
ZHONGDIANTIXINGPOUXI-
题型一二次根式有意义的条件
2.(海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习)
下列各式中字母取何值时，式子在实数范围内有
[经典例题
意义？
【典例】（河北石家庄·八年级统考期末）使代数
(1√2x-5;(2
式
1
√3一2x有意义的整数x有(
x+2
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【答案】C
【解析】由题意，得
1x+2>0
13-2.x≥0
解不等式组得一2<≤。，
符合条件的整数有：一1、0、1共三个，故选：C
[归类训练]
1.(湖南株洲·八年级统考期末)若√/x一1有意义，
则x的取值范围是
衔接必刷题数学
题型二求二次根式中的参数
2.(全国·八年级专题练习)名v瓜·(-导0)
[经典例题]
16
3 a
【典例】（全国·九年级专题练习）若最简二次根
式“4a+36和√2a-b+6能合并，则a,b的值分
别是
A.2和1
B.1和2
C.2和2
D.1和1
【答案】D
【解析】：最简二次根式“V4a+36和√2a-b+6
能合并，/3a-b=2
3a-b=2
4a+36=2a-b+6a+26=3
解得/a=
6=1故选D
[归类训练]
1.(浙江·八年级专题练习)若80n是整数，则正整
数n的最小值是
(
A.2
B.3
C.4
D.5
2.(八年级单元测试)如果二次根式√/5m十8与√7是
同类二次根式，那么满足条件的m中最小正整
数是
题型四最简二次根式
题型目二次根式的乘法与除法及其混合运算
[经典例题]
[经典例题]
【典例】（全国·八年级专题练习）把下列二次根
【典例】（全国·八年级专题练习）计算：(2√2十3)÷
式化为最简二次根式：
(w2+1)×
2
√2+1
aw.5:2g(3,
3(4)②
3√40
【解】(2V2+3)÷(W2+1)×
2=22+3X2
(5)2√4a3b2c(a,b,c均大于0)
√2+1(w2+1)2
5_10_10
=22+3×2=2.
【解】12.5号-2
2√2+3
故v/25的最简二次根式为：
[归类训练]
8_40-V4X10_20
1.(全国·八车级专题练习)化简：4V×√层
(2X号√25
5
此/侣的成简二次根式为
2√10
5
(3)W2-9x3-5
3
3
故②四的最简二次根式为V3。
3
(4)②
2
√②
=5
3√/40
3V4×5X26V5×V230
故的最商二次根我为：得
3W/40
(5),a,b,c均大于0
∴.2√/4a3b2c=4 ab vac.参考答案
参考答案
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第2讲
根式、分式的化简
[重点题型剖析]
第一编初中知识回顾
题型一
归类训练
第1讲乘法公式
1.【答案】x≥1
[重点题型剖析]
【解析】由题意知，x一1≥0，
题型一
解得：x≥1，
故答案为：x≥1.
归类训练
1.【解】(n+7)2-(n-5)2
2.【解】(1)，√2x-5有意义，
.2x-5≥0，
=(1十7+i一5)(n十7-十5)
、5
=(21+2)×12
x≥2
=24(+1),
为正整数，
②是二大我，
十1为正整数，
.x一3≥0，且x一3≠0，
.24(n十1)能被24整除，
.x-3>0,
.(十7)2一(n一5)2能被24整除。
.x>3.
2.【解】(2x十y)2-(x十2y)2
题型二
=[(2x+y)+(x+2y)][(2.x+y)一(x+2y)]
归类训练
=(2x+y+x+2y)(2.x+y-x-2y)
1.【答案】D
=(3x+3y)(x-y)
【解析】，80n=42×5m,√80m是整数，
=3(x十y)(x-y)
,,正整数n的最小值是5，
题型二
故选：D.
归类训练
2.【答案】4
1.【答案】(1-3.x-3y)2
【解析】当5m十8=1时，m=-号，不合题意，
【解析】1一6(x十y)十9(x十y)2
当√5m十8=2√7，即5m十8=28时，m=4,
=1-2×1×3(x+y)+[3(x+y)]2
.√5m十8与√7是同类二次根式，那么m的最小正整数
=[1-3(x+y)]2
是4，
=(1-3x-3y)2
故答案为：4.
故答案为：(1-3.x-3y)2.
题型三
2.【解】x十y=7,xy=12,
归类训练
.x2+y2=(x+y)2-2.xy=72-2×12=25.
题型三
归类训练
1.【解】方法一：原式=(x2-1)[(x2+1)2-x2]
=(.x2-1)(x+x2+1)=x8-1.
方法二：原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)
=(x3+1)(x3-1)=x6-1.
2 x
2.【解】当x=0时，x2+3x一1≠0，x=0不是它的根，故x
5y2
≠0
2x2
5y
化简，得x2+3x-1=02-1=-3xx-1=-3
2.【解】原式-名·（-号v西)÷
12+3=(x-）+2x1=(x-）+2=(-3)2
+2=11.
2)x2-3=(x-1)(2+1+)=-311+10
(abx
√ab
=-4a2
-36.
67

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