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2024-2025学年度第二学期九年级综合素质测评数学科试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．﹣2025的倒数是（ ）
A．2025 B．- C．﹣2025 D．
2．我国北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×108 B．1.25×107 C．1.25×108 D．12.5×108
3．如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x8÷x2＝x4B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．（4x2）2＝8x4 D．
5．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（ ）
A．14° B．44° C．46° D．74°
6．若x2﹣3y﹣5＝0，则2x2﹣6y﹣6的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
7．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
8．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠E等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若AB＝3，∠BED＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
12．把抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得到的解析式为_______．
13．端午节吃粽子是中华民族的传统习惯，妈妈买了3只红豆粽、2只碱水粽、2只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是_______．
14．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为_______cm．
15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB＝OA；
③∠MPN＝60°；④PM+PN＝BD．其中正确的是_______．（填写序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC＝2BC＝8，求AD的长．
18．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
（1）根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c 2
（1）在以上成绩统计表中，a＝_______，b＝_______，c＝_______．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，请问小明是组的学生．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元）
3 2 4400
2 3 4600
1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩？
20．“板车”具有悠久的历史，20世纪90年代以前是农村主要运输交通工具，它发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠A＝∠BDC；
（2）若，CB＝4，求车轮的半径长．
21．【问题背景】
（1）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图1，将它放入一个直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，顶点D、E、F、G刚好落在三边上，求BC的长；
【问题提出与解决】
（2）小颖同学受到启发，将该教具放入如图2所示的直角坐标系中，顶点A、B、C分别落在坐标轴上，提出问题：如果反比例函数图象经过顶点D，求k的值；
（3）小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将该教具放入圆内，使圆经过其顶点A、B、C，请直接写出这个圆的半径．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22．综合与探究
【问题情境】
如图1，小明将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
【活动猜想】
（1）如图2，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状并证明；
【问题解决】
（2）如图3，在矩形纸片ABCD中，若边AB＝8，，AC与BD交于点O．
①请判断A′B′与对角线AC的位置关系，并说明理由；
②当B′D＝4时，请直接写出此时AE的长．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标；
（3）点D是线段OB上一点，且△BCD的面积是12．
①求点D的坐标；
②将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′C、D′B，求D′BD′C的最小值．
2025年广东省初中学业水平第三次模拟考试
数学试卷答案和评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．B．2．B．3．A．4．D．5．A．6．A．7．C．8．D．9．A．10．A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．． 12．． 13． 14．3 15． ①②③④．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。
16．
解：原式
17．解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点，
则，，则点即为所求．
（2），．
设，则．
，，
即，解得，的长为5．
18．解：（1）；；．
（2）甲
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．解：（1）设单枪新能源充电桩的单价为元，、双枪新能源充电桩的单价为元，
由题意得：，解得，
答：单枪新能源充电桩的单价为800元，、双枪新能源充电桩的单价为1000元；
（2）设原计划平均每天制作个充电桩，则实际平均每天制作个充电桩，
根据题意得：，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划平均每天制作20个充电桩．
20．（1）证明：连接，
是车轮的直径，
，
与相切于点，
，，
（2）解：在中，
，，
，
，即车轮的半径长为．
21．解：解：（1）如图所示：
由题意知，
，，
（2）如图所示：过作轴于，
由题意知，，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，即，
解得：，
同理，
，即，
解得：，
，，
；
（3）如图，取中点，作，取圆心，连接，则，
由正方形的性质，
设，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，，
的半径为，
五、解答题（三）：本大题共小题，共分．
22．解：（1）四边形是菱形；理由如下：
将矩形纸片折叠，点与点重合，
，
四边形是矩形，，
，，
，，
四边形是菱形；
（2）①；理由如下：
四边形是矩形，
，，，，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，是等边三角形，
，，
由折叠的性质得：，
，，
，；
（2）或．
23．解：（1）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
，解得．
抛物线的表达式为；
①当点在上方时，如图2，
，点的纵坐标相等，
点的纵坐标为4，令，则，
解得：（舍）或，；
②当点在下方时，如图3，
设交轴于点，
．
设，，
在中，，
解得：．
设直线的解析式为，
，解得：．．
，解得：（舍），
，．
综上：点的坐标为或．
（3）①，
②如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得．
，，
，又，
，
．．
，此时最小（两点间线段最短，共线时），
的最小值．

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