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【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学试卷
一、选择题。共10小题，每题4分，共40分。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2025·北京）集合，，则=（　　）
A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．
2．（2025·北京）已知复数z满足，则|z|=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
3．（2025·北京） 双曲线 的离心率为（　　）。
A． B． C． D．
4．（2025·北京）为得到函数y=9x的图象，只需把函数y=3x的图象上的所有点（　　）
A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
5．（2025·北京）已知是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10=（　　）
A．-20 B．-18 C．16 D．18
6．（2025·北京）已知a>0，b>0，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·北京）已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意，存在，使得|f（x0）|＞M”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2025·北京） 设函数，若恒成立，且f（x）在上存在零点，则的最小值为（　　）。
A．8 B．6 C．4 D．3
9．（2025·北京）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　）
A．2 B．4 C．20 D．40
10．（2025·北京） 已知平面直角坐标系 xOy 中，，，设 C（3，4），则 的取值范围是（　　）。
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
二、填空题。共5小题，每小题5分,共25分。
11．（2025·北京） 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则p=　 　.
12．（2025·北京） 已知 ，则 　 　；　 　.
13．（2025·北京） 已知 ，且 ，
写出满足条件的一组α=　 　，β=　 　.
14．（2025·北京） 某科技兴趣小组使用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，，若，AF=CD=4，RA=RF=TC=TD=，则该多面体的体积为　 　.
15．（2025·北京）关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有　 　.
①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
③使得f（x）+f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；
④使得f（x）-f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个.
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（2025·北京）在△ABC中，，
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
①，②，③面积为
17．（2025·北京）四棱锥P—ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90° ，E为BC的中点.
（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.
18．（2025·北京）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率ρ；
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.
19．（2025·北京）已知椭圆E： 的离心率为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点，为椭圆上一点，直线 与 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S1和S2，比较和的大小.
20．（2025·北京）函数f（x）定义域为，且f（0）=0，，f（x）在A（a，f（a））（a≠0）
处的切线为l1.
（1）求的最大值；
（2）证明：当 ，除切点 外， 均在 上方；
（3） 当 时，直线 过点 且与 垂直，、 与 x 轴的交点横坐标分别为 、，求 的取值范围.
21．（2025·北京）A={1，2，3，4，5，6，7，8}，，从中选出构成一列： .相邻两项满足：或，称为K列.
（1）若K列的第一项为（3，3），求第二项；
（2）若为K列，且满足i为奇数时，；i为偶数时，；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在中，并说明理由；
（3）证明：M中所有元素都不构成K列.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先求集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：设复数，由，可得，
则，即，故.
故答案为：B.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得，再求即可.
3．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为，则离心率.
故答案为：B.
【分析】化双曲线方程为标准方程，根据离心率公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：函数，
则为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变.
故答案为：A.
【分析】易知函数，再根据函数图象的伸缩，平移变换判断即可.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，且，
若成等比数列，则，即，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，且，根据等比中项结合等差数列通项公式列式求得，再根据等差数列的通项公式求即可.
6．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、取，，，故B错误；
C、因为，所以，故C正确；
D、取，，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，即可判断A；取特殊值即可判断BD；利用基本不等式即可判断C.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域
【解析】【解答】解： 对任意，存在， 使得，等价于，显然
的值域为，能推出，反之不成立，则函数的定义域为，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数值域的概念结合充分、必要条件的概念判断即可.
8．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
若恒成立，则函数的周期为，即kT=π，解得，
因为函数在上存在零点，当时，，
所以，即，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用辅助角公式化简函数，结合正弦函数的周期、零点求解即可.
9．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设训练数据量为的时间分别为，
，
，
，
因为，解得，
所以，
则当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合对数运算性质求解即可.
10．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
因为，，
所以，易知，
则
，
因为，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，用表示，结合向量数量积运算求解即可.
11．【答案】6
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线顶点到焦点得距离为3，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据抛物线的性质列式求解即可.
12．【答案】1；15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
令，可得；
令，可得，则.
故答案为：；.
【分析】利用赋值法求解即可.
13．【答案】（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，，
可得与的终边关于轴对称，但与轴不重合，
则，且，
即，故取.
故答案为：；（答案不唯一）.
【分析】由题意，可得角的等量关系，据此求解即可.
14．【答案】60
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：由题意，多面体可分成两个相等的三棱柱和；两个相等的三棱锥和，一个正四棱锥，如图所示：
易知，，，则该多面体的体积为.故答案为：60.
【分析】将多面体拆分成个相等的三棱柱和；两个相等的三棱锥和，一个正四棱锥，再根据棱锥、棱柱体积公式计算即可.
15．【答案】②③
【知识点】函数单调性的性质；反证法
【解析】【解答】解： ① 、若存在上的单调递增函数，使得，
则，即，当时，，
即，即，即，矛盾，故①错误；
②、取函数，满足在上的单调递减，且，故②正确；
③、取函数，满足，因为，所以有无穷多个，故③正确；
④、若存在，使得，令，则，矛盾，
即不存在函数，故④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用反证法即可判断①④；取特殊函数验证即可判断②③.
16．【答案】（1）解：由，可得为钝角三角形，且，
由正弦定理，可得，即，解得；
（2）解：如图所示：
选①、由，，可得，再由，可得角为钝角，矛盾；
选②、，，
，
存在，且边上的高为；
选③、面积为，
由（1），，则，解得，
由余弦定理，可得，即，
，解得，
则边上的高为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可；
（2）选①、由题意，推出矛盾，可知不存在；
选②、由求得，再求，可知存在，再求边上的高即可；
选③，由三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
17．【答案】（1）证明：取的中点，的中点，连接，
因为与均为等腰直角三角形，所以，
设，则，，
因为分别为的中点，所以，，
又因为，所以，，
即四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，，
设平面PCD的一个法向量为 ，
则 ，即，取 ，， ，即，
设与平面成的角为
则 ，
即与平面成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，的中点，连接，只需要证，即可得平面；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
18．【答案】（1）解：记事件=“甲校中随机抽取1人，这个人答对题目”，则 ；
（2）解：由(1)可知，乙校中随机抽取1人，这个人答对题目的概率为事件B，则，
从甲乙两校各随机抽取1人，恰有1人做对的概率为：
=；
由题意可知：的可能取值为，
，
，
，
的分布列为：
；
（3）解：由题意可得：，解得，
，解得 ，
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率估计概率即可；
（2）利用独立事件求恰有1人做对的概率，得分布列，再求期望即可；
（3）由题意，可得的方程，求解比较大小即可.
19．【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆方程为；
（2）解：因为直线与直线和分别交于两点，
所以，，
设，则 ，
因为点在椭圆上，所以，整理可得，
则，
，
因为，所以，所以，
则，即.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，求解即可；
（2）由题意求得的坐标，设，利用倾斜角间的关系得到，再根据三角形的面积公式求解即可.
20．【答案】（1）解：令定义域为，，
令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取得极大值，且为最大值，即，
即的最大值为；
（2）证明：设切线的斜率为，则，
即切线方程为，即，
设，
令，，
由(1)知，当时，单调递增，
因为，所以当时，单调递增，，，在单调递减，
当时，，，单调递增，
，， ，
则在恒成立，当时取等号，
故当时，除外，均在上方；
（3）解：因为直线与垂直，的斜率为，的斜率为，所以，
又因为直线， 所以令，
直线 ，令，，
则，，
则 ，
设，，
由(1)知，，，
因为，所以在单调递减，且，
又因为时，，所以，
综上所述，原式的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，并求最值即可；
（2）求直线的方程，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，求最小值，只要最小值大于零即可；
（3）求方程，由题意得，，表示求其范围即可.
21．【答案】（1）解：由题意可得：或，解得或，
则若K列的第一项为，第二项为或；
（2）解：设，则，即或，
即，或，
即与奇偶轮换，即与奇偶性不同，与奇偶性相同，
若，均在中，
由，知，i， j均为偶数，即与奇偶性相同，
而，奇偶性不同，矛盾，
故(3，2)，(4，4)不能同时在中；
（3）证明：由题知，M为点集，由(2)知，设，则，其中共有个点，而，
因为6由2来，3由7来，横、纵坐标不能同时相差4，所以有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾.
【知识点】集合的含义；反证法
【解析】【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）设，则，得到与奇偶性不同，与奇偶性相同，推出矛盾即可；
（3）假设中的元素构成列，推出矛盾，证明即可.
1 / 1【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学试卷
一、选择题。共10小题，每题4分，共40分。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2025·北京）集合，，则=（　　）
A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，因为集合，所以.
故答案为：D.
【分析】先求集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025·北京）已知复数z满足，则|z|=（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：设复数，由，可得，
则，即，故.
故答案为：B.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得，再求即可.
3．（2025·北京） 双曲线 的离心率为（　　）。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为，则离心率.
故答案为：B.
【分析】化双曲线方程为标准方程，根据离心率公式求解即可.
4．（2025·北京）为得到函数y=9x的图象，只需把函数y=3x的图象上的所有点（　　）
A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
【答案】A
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：函数，
则为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变.
故答案为：A.
【分析】易知函数，再根据函数图象的伸缩，平移变换判断即可.
5．（2025·北京）已知是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10=（　　）
A．-20 B．-18 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，且，
若成等比数列，则，即，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，且，根据等比中项结合等差数列通项公式列式求得，再根据等差数列的通项公式求即可.
6．（2025·北京）已知a>0，b>0，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、取，，，故B错误；
C、因为，所以，故C正确；
D、取，，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，即可判断A；取特殊值即可判断BD；利用基本不等式即可判断C.
7．（2025·北京）已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意，存在，使得|f（x0）|＞M”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的值域
【解析】【解答】解： 对任意，存在， 使得，等价于，显然
的值域为，能推出，反之不成立，则函数的定义域为，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据函数值域的概念结合充分、必要条件的概念判断即可.
8．（2025·北京） 设函数，若恒成立，且f（x）在上存在零点，则的最小值为（　　）。
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
若恒成立，则函数的周期为，即kT=π，解得，
因为函数在上存在零点，当时，，
所以，即，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用辅助角公式化简函数，结合正弦函数的周期、零点求解即可.
9．（2025·北京）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　）
A．2 B．4 C．20 D．40
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设训练数据量为的时间分别为，
，
，
，
因为，解得，
所以，
则当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合对数运算性质求解即可.
10．（2025·北京） 已知平面直角坐标系 xOy 中，，，设 C（3，4），则 的取值范围是（　　）。
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
因为，，
所以，易知，
则
，
因为，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，用表示，结合向量数量积运算求解即可.
二、填空题。共5小题，每小题5分,共25分。
11．（2025·北京） 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则p=　 　.
【答案】6
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线顶点到焦点得距离为3，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据抛物线的性质列式求解即可.
12．（2025·北京） 已知 ，则 　 　；　 　.
【答案】1；15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
令，可得；
令，可得，则.
故答案为：；.
【分析】利用赋值法求解即可.
13．（2025·北京） 已知 ，且 ，
写出满足条件的一组α=　 　，β=　 　.
【答案】（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，，
可得与的终边关于轴对称，但与轴不重合，
则，且，
即，故取.
故答案为：；（答案不唯一）.
【分析】由题意，可得角的等量关系，据此求解即可.
14．（2025·北京） 某科技兴趣小组使用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，，若，AF=CD=4，RA=RF=TC=TD=，则该多面体的体积为　 　.
【答案】60
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：由题意，多面体可分成两个相等的三棱柱和；两个相等的三棱锥和，一个正四棱锥，如图所示：
易知，，，则该多面体的体积为.故答案为：60.
【分析】将多面体拆分成个相等的三棱柱和；两个相等的三棱锥和，一个正四棱锥，再根据棱锥、棱柱体积公式计算即可.
15．（2025·北京）关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有　 　.
①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
③使得f（x）+f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；
④使得f（x）-f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个.
【答案】②③
【知识点】函数单调性的性质；反证法
【解析】【解答】解： ① 、若存在上的单调递增函数，使得，
则，即，当时，，
即，即，即，矛盾，故①错误；
②、取函数，满足在上的单调递减，且，故②正确；
③、取函数，满足，因为，所以有无穷多个，故③正确；
④、若存在，使得，令，则，矛盾，
即不存在函数，故④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用反证法即可判断①④；取特殊函数验证即可判断②③.
三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（2025·北京）在△ABC中，，
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
①，②，③面积为
【答案】（1）解：由，可得为钝角三角形，且，
由正弦定理，可得，即，解得；
（2）解：如图所示：
选①、由，，可得，再由，可得角为钝角，矛盾；
选②、，，
，
存在，且边上的高为；
选③、面积为，
由（1），，则，解得，
由余弦定理，可得，即，
，解得，
则边上的高为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可；
（2）选①、由题意，推出矛盾，可知不存在；
选②、由求得，再求，可知存在，再求边上的高即可；
选③，由三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.
17．（2025·北京）四棱锥P—ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90° ，E为BC的中点.
（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，的中点，连接，
因为与均为等腰直角三角形，所以，
设，则，，
因为分别为的中点，所以，，
又因为，所以，，
即四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，，
设平面PCD的一个法向量为 ，
则 ，即，取 ，， ，即，
设与平面成的角为
则 ，
即与平面成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，的中点，连接，只需要证，即可得平面；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
18．（2025·北京）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率ρ；
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；
（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.
【答案】（1）解：记事件=“甲校中随机抽取1人，这个人答对题目”，则 ；
（2）解：由(1)可知，乙校中随机抽取1人，这个人答对题目的概率为事件B，则，
从甲乙两校各随机抽取1人，恰有1人做对的概率为：
=；
由题意可知：的可能取值为，
，
，
，
的分布列为：
；
（3）解：由题意可得：，解得，
，解得 ，
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率估计概率即可；
（2）利用独立事件求恰有1人做对的概率，得分布列，再求期望即可；
（3）由题意，可得的方程，求解比较大小即可.
19．（2025·北京）已知椭圆E： 的离心率为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点，为椭圆上一点，直线 与 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S1和S2，比较和的大小.
【答案】（1）解：由题意可得，解得，则椭圆方程为；
（2）解：因为直线与直线和分别交于两点，
所以，，
设，则 ，
因为点在椭圆上，所以，整理可得，
则，
，
因为，所以，所以，
则，即.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程组，求解即可；
（2）由题意求得的坐标，设，利用倾斜角间的关系得到，再根据三角形的面积公式求解即可.
20．（2025·北京）函数f（x）定义域为，且f（0）=0，，f（x）在A（a，f（a））（a≠0）
处的切线为l1.
（1）求的最大值；
（2）证明：当 ，除切点 外， 均在 上方；
（3） 当 时，直线 过点 且与 垂直，、 与 x 轴的交点横坐标分别为 、，求 的取值范围.
【答案】（1）解：令定义域为，，
令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取得极大值，且为最大值，即，
即的最大值为；
（2）证明：设切线的斜率为，则，
即切线方程为，即，
设，
令，，
由(1)知，当时，单调递增，
因为，所以当时，单调递增，，，在单调递减，
当时，，，单调递增，
，， ，
则在恒成立，当时取等号，
故当时，除外，均在上方；
（3）解：因为直线与垂直，的斜率为，的斜率为，所以，
又因为直线， 所以令，
直线 ，令，，
则，，
则 ，
设，，
由(1)知，，，
因为，所以在单调递减，且，
又因为时，，所以，
综上所述，原式的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，并求最值即可；
（2）求直线的方程，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，求最小值，只要最小值大于零即可；
（3）求方程，由题意得，，表示求其范围即可.
21．（2025·北京）A={1，2，3，4，5，6，7，8}，，从中选出构成一列： .相邻两项满足：或，称为K列.
（1）若K列的第一项为（3，3），求第二项；
（2）若为K列，且满足i为奇数时，；i为偶数时，；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在中，并说明理由；
（3）证明：M中所有元素都不构成K列.
【答案】（1）解：由题意可得：或，解得或，
则若K列的第一项为，第二项为或；
（2）解：设，则，即或，
即，或，
即与奇偶轮换，即与奇偶性不同，与奇偶性相同，
若，均在中，
由，知，i， j均为偶数，即与奇偶性相同，
而，奇偶性不同，矛盾，
故(3，2)，(4，4)不能同时在中；
（3）证明：由题知，M为点集，由(2)知，设，则，其中共有个点，而，
因为6由2来，3由7来，横、纵坐标不能同时相差4，所以有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾.
【知识点】集合的含义；反证法
【解析】【分析】（1）根据新定义求解即可；
（2）设，则，得到与奇偶性不同，与奇偶性相同，推出矛盾即可；
（3）假设中的元素构成列，推出矛盾，证明即可.
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