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苏科版八年级上学期第1章《三角形》检测卷
（满分：100分）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
2．（2分）下列命题不正确的是（　　）
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
3．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠DAC＝37°，则∠B的度数是（　　）
A．37° B．30° C．28° D．26°
4．（2分）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
5．（2分）以下四个命题：
①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；
②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；
③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；
④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．
其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2分）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
8．（2分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，D、E分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD＝DE，F是线段AC上一点，且EF＝FC，则DF的最小值为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．4
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是 　 　 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若要直接根据“HL”判定△ABD≌△ACD，还需要添加的一个条件为 　 　 ．
11．（3分）如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝　 　 ．
12．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为　 　 ．
13．（3分）如图，点P在△ABC的内部，且PB＝3，M、N分别为点P关于直线AB、BC的对称点，若MN＝6，则∠ABC＝　 　 °．
14．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝A′D′，则∠C和∠C′的关系是 　 　 ．
15．（3分）如图，直线l经过等边三角形ABC的顶点B，在l上取点D、E，使∠ADB＝∠CEB＝120°．若AD＝2cm，CE＝5cm，则DE＝　 　 cm．
16．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分别垂直平分AB、AC，则∠A的度数为 　 　 ．
17．（3分）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，使点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 　 　 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分54分）
19．（8分）如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
20．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BCD＝ 　 　 °时，△BED是等边三角形；
（3）当∠ADE+∠ABE＝45°时，若BD＝5，取BD中点F，求EF的长．
21．（9分）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．
（1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于 　 　 时，点A与点D1之间的距离最小．
22．（9分）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
23．（10分）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
（1）如图1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD　 　 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，求证：∠B+∠E＝180°．
24．（10分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
苏科版八年级上学期第1章《三角形》检测卷
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B B D C B
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
【思路点拔】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
2．（2分）下列命题不正确的是（　　）
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
【思路点拔】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．
【解答】解：本题可采用排除法；
A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；
B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．
即答案选B．
3．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠DAC＝37°，则∠B的度数是（　　）
A．37° B．30° C．28° D．26°
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，结合等边对等角即可得出∠B＝∠C＝∠DAC＝37°．
【解答】解：∵在△ABC中，AC的垂直平分线l交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝37°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝37°，
所以∠B的度数为37°．
故选：A．
4．（2分）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（　　）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
【思路点拔】分析题意，回忆全等三角形的判定定理，此题中已知八个正六边形均全等，则可得到六边形每一条边均相等，所以可考虑运用SSS进行判定；观察△ACD各边的长度，分析各个选项找出与△ACD各边均相等的三角形即可得到结论．
【解答】解：根据图形可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，
∴△ACD≌△AED（SSS），
与△ACD全等的三角形是ADE．
故选：B．
5．（2分）以下四个命题：
①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；
②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；
③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；
④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．
其中真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，故①错误；
②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，故②错误；
③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等，故③正确；
④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等，故④正确．
其中真命题有2个，
故选：B．
6．（2分）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D．
7．（2分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
【思路点拔】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解决问题；
【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MBN＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
8．（2分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，D、E分别是线段AB和线段BC上的动点，且BD＝DE，F是线段AC上一点，且EF＝FC，则DF的最小值为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．4
【思路点拔】根据题意，过点D作DG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，DM⊥FH于点M，利用三线合一求出BG＝GE，EH＝HC，GH＝2.5，得出四边形为矩形即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，DM⊥FH于点M，
∵BD＝DE，DG⊥BC，
∴BG＝GE（三线合一），
同理，EH＝HC，
∴GE+EHBC＝2.5，
即GH＝2.5，
∵DM⊥FH，DG⊥BC，
∴∠DGH＝∠DMH＝∠MHG＝90°，
∴四边形DGHM为矩形，
∴DM＝GH＝2.5，
∵DF≥DM，
∴DF最小值为2.5．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长是 　15　 ．
【思路点拔】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴此时不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、6、6，
此时能组成三角形，
所以，周长＝3+6+6＝15，
综上所述，这个等腰三角形的周长是15．
故答案为：15．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若要直接根据“HL”判定△ABD≌△ACD，还需要添加的一个条件为 　AB＝AC　 ．
【思路点拔】根据AD⊥BC得△ABD和△ACD均为直角三角形，再根据直角边AD为公共边得当斜边相等时可根据“HL”判定△ABD≌△ACD，据此即可得出答案．
【解答】解：当添加条件AB＝AC时，可根据“HL”判定△ABD≌△ACD，理由如下：
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
11．（3分）如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，点E为BF中点，若CF＝6，AD＝4，则BD＝　2　 ．
【思路点拔】利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结果．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠FCE，
∠B＝∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE＝FE，
在△ABE与△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF＝6，
∵AD＝4，
∴BD＝2，
故答案为：2．
12．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为　7或11　 ．
【思路点拔】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
【解答】解：根据题意，
①当15是腰长与腰长一半时，ACAC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝1210＝7；
②当12是腰长与腰长一半时，ACAC＝12，解得AC＝8，
所以底边长＝158＝11．
所以底边长等于7或11．
故答案为：7或11．
13．（3分）如图，点P在△ABC的内部，且PB＝3，M、N分别为点P关于直线AB、BC的对称点，若MN＝6，则∠ABC＝　90　 °．
【思路点拔】证明M，B，N共线，利用轴对称变换的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接BM，BN．
∵P，M关于AB对称，P，N关于BC对称，
∴PB＝BM＝BN＝3，
∵MN＝6，
∴M，B，N共线，
∴∠MBN＝180°，
∴∠ABC∠PBM∠PBN（∠PBM+∠PBN）＝90°，
故答案为：90．
14．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝A′D′，则∠C和∠C′的关系是 　相等或互补　 ．
【思路点拔】先根据题意画出图形，再利用全等三角形的性质解答，画图时要注意∠C'为锐角和钝角两种情况讨论．
【解答】解：当∠C′为锐角时，如图1所示：
∵AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
在Rt△ADC和Rt△A′D′C'中′，，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C'（HL），
∴∠C＝∠C′＝60°；
当∠C'为钝角时，如图2所示，
∵AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
在Rt△ADC和Rt△A′D′C'中′，，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），
∴∠C＝∠A′C′D′，
∵∠A′C′D′+∠A'C'B'＝180°，
∴∠C+∠A'C'B'＝180°，
综上所述，∠C和∠C的关系是相等或互补；
故答案为：相等或互补．
15．（3分）如图，直线l经过等边三角形ABC的顶点B，在l上取点D、E，使∠ADB＝∠CEB＝120°．若AD＝2cm，CE＝5cm，则DE＝　3　 cm．
【思路点拔】由△ABC是等边三角形，易得∠ABC＝60°，AB＝BC，又由∠ADB＝∠CEB＝120°，易求得∠BAD＝∠CBE，然后利用AAS即可判定△ABD≌△BCE，继而求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠ABD+∠CBE＝60°，
∵∠ADB＝∠CEB＝120°，
∴∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD＝CE＝5cm，BE＝AD＝2cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm．
故答案为：3．
16．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分别垂直平分AB、AC，则∠A的度数为 　74°　 ．
【思路点拔】由圆周角定理，即可求解．
【解答】解：连接DC，
∵DE和DF分别垂直平分AB、AC，
∴点D是△ABC的外心，DB＝CD，
∴∠A∠BDC，∠DBC＝∠DCB，
∵∠DBC＝16°，
∴∠BDC＝148°，
∴∠A148°＝74°．
故答案为：74°．
17．（3分）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，使点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 　x＝d或x≥a　 ．
【思路点拔】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【解答】解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为d，
∴BD＝d，
①如图，
当C点和D点重合时，x＝d，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当d＜x＜a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；
③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x＝d或x≥a，
故答案为：x＝d或x≥a．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，若△PCD中有一个角等于48°，则∠A＝　42°或24°　 ．
【思路点拔】由折叠的性质得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜边上的中线性质得出CDAB＝AD＝BD，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，中分三种情况讨论即可．
【解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中点
∴CDAB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
当∠PDC＝48°时，
∵∠PCD＝DCB＝48°，∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠A∠BDC＝24°；
故答案为：42°或24°．
三．解答题（共6小题，满分54分）
19．（8分）如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
【思路点拔】根据中点的定义，再根据AAS证明△ABC≌△EAD解答即可．
【解答】证明：∵C为AE的中点，AE＝4，DE＝2，
∴ACAE＝2＝DE，
又∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠E，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
20．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BCD＝ 　150　 °时，△BED是等边三角形；
（3）当∠ADE+∠ABE＝45°时，若BD＝5，取BD中点F，求EF的长．
【思路点拔】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BEAC，DEAC，从而得到BE＝DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根据四边形内角和即可求得答案；
（3）利用等腰三角形的性质得EF⊥BD，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC边的中点，
∴BEAC，DEAC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）解：∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150；
（3）解：如图，取BD中点F，连接EF，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴AE＝DE＝BEAC，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EAB＝∠ABE，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝90°，
∵DE＝BE，点F为BD的中点，
∴EF⊥BD，EFBD＝2.5，
∴EF的长为2.5．
21．（9分）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．
（1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于 　6　 时，点A与点D1之间的距离最小．
【思路点拔】（1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明△BB1D1≌C1CA，根据全等的性质即可得到结论；
（2）根据平移的距离即为BC的长即可求解．
【解答】（1）证明：由图1可知，△ABC≌△DBC，
∴AC＝BD，
由平移的性质可知，BD＝B1D1，∠DBC＝∠D1B1C1，BB1＝CC1，
∴AC＝B1D1，
∵∠DBC＝∠ACB＝90°，
∴∠D1B1C1＝90°，
∴∠ACC1＝∠BB1D1＝90°，
在△BB1D1和△C1CA中，
，
∴△BB1D1≌C1CA（SAS），
∴∠AC1C＝∠B1BD1，BD1＝AC1，
∴BD1∥AC1，
∴BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）解：当点C于点B重合，点A与点D1之间的距离最小，
∴△DBC沿射线BC方向平移的距离等于BC＝6，
故答案为：6．
22．（9分）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【思路点拔】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
23．（10分）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．
（1）如图1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD　是　 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，求证：∠B+∠E＝180°．
【思路点拔】（1）由题意得∠A＝∠B，DC＝DC，由融通三角形定义即可得出结论；
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG，证明△ABC≌△DGF（SAS），得出∠B＝∠DGF，BC＝GF，即可证明．
【解答】（1）解：根据题意，∵CB＝CA，
∴∠B＝∠A，
∵DC＝DC且AD≠BD，
∴△ACD与△BCD不全等，
所以△ACD与△BCD是“融通三角形”，
故答案为：是；
（2）证明：如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG，
∵AC＝DF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴BC＝GF，∠B＝∠DGF，
∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE，
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°．
24．（10分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断△BEG的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HEBH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BEAD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图，BEAD，
理由如下：延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HEBH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BEAD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，
理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．

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