资源简介

《浙江省新学考研究卷卷》
普通高中学业水平合格性考试模拟试卷 数学（三）
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题列出的四个备选项中，只有一
个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知集合 P = {x x2 5 0}，集合Q = {x x N *且x P}，则Q =
A．{0,1,2} B．{ 2, 1,0,1,2} C．{1,2} D．{-2,-1,1,2}
1
2．不等式 2 的解集是
x
1 1 1 1
A． ( ,+ ) B． ( , ) C． ( , ) (0,+ ) D． ( ,0)
2 2 2 2
3．已知 是第三象限的角，若 tan = 2，则 cos 的值为
5 5 2 5 2 5
A． B． C． D．
5 5 5 5
4．为了解高二学生的数学作业时间，学校抽取了 100 名学生进行调查，并将其数学作业时长进行
了统计，并作出如图所示的频率分布直方图．则根据图示估计第 75 百分位数是
A．70 B．75
C．80 D．82
x 1
5．函数 f (x) = 的定义域是
x + 3
A． ( 3,1] B． ( , 3) (1,+ )
C． ( 3,1) D． ( , 3) [1,+ )
6．已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|= 3 ,|b-a|=1，则向量 b 在向量 a 方向上的投影向量是
3 2 1
A． a B． a C．a D． a
2 3 2
7．如图是一个四分之一球形状的储物盒，内部放置一个正方体，若该球的半径为 1，则其内置正方
体的最大体积是
3 8
A． B．
16 27
4 7
C． D．
9 32
8．已知空间中的三条直线 a,b,c ，“ a,b,c 过同一点”是“ a,b,c 共面”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．在平面四边形 ABCD 中， ABC = ， ADC = ， BC = 4， AD = 3 3 ，
3 2
BAC = DAC ，则 AC=
A． 6 B． 39
C． 41 D．7
《浙江省新学考研究卷》学考数学（三） 第 1 页 共 4 页
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10．计算机的硬件由大量逻辑电路组成，而电子元件如晶体管等很容易实现开和关、高电平与低电
平这两种稳定状态，正好对应二进制的 0 和 1。这使得计算机的电路设计、制造和维护都相对
简单，降低了硬件的复杂性和成本，也有利于提高计算机的集成度和运行速度。计算机在某个
信息传输过程中，用 8 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同
信息，所用数字只有 0 和 1．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有 3 个 1 的概率是
7 7 17 35
A． B． C． D．
16 32 64 128
x a a, x a 1
11．已知函数 f (x) = 在 R 上单调递增，则实数 a的取值范围是
ex a+1 + ln(x a + 2), x a 1
A． ( 1,2] B．[ 2,+ ） C．[ 2,1] D．（ , 1]

12．若 f (x) = sin( x + ) ( 0)在 ( , )上为单调函数，则实数 的取值范围是
6 2
2 4
A． (0,2] B． (0, ] [1, ]
3 3
1 2 4 1
C． (0, ] [ , ] D． [ ,2]
3 3 3 3
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题列出的四个备选项中，有多个是
符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选、错选得 0 分）
1
13．关于函数 f (x) = 2sin x的如下结论，正确的是
2
A． f (x) 的最小正周期是
B． f (x) 的最大值是 2
1
C． f (x) 的图像可以由函数 y = 2sin( x + ) 的图像向右平移 个单位得到
2 6 3

D． f (x) 在区间[ , ]上单调递增
2 2
14．若 a,b (0,+ ) ，且 a b，则下列不等式恒成立的是
1 1 2
A． a + b 2 ab B． +
a b ab
a b
C． + 2b 2 ab D． 2a + 2 ab
2 2
15．学校开设 A、B、C 三门选修课程供学生选择，每个同学必须且只能选择一门课程，同学们选择
每一门课都是等可能的，下列对甲、乙、丙三位同学的选课描述正确的是
1
A．三人选同一门课程的概率为
9
8
B．三人选课均不相同的概率为
9
2
C．三人中有两人选择 A 课程的概率为
9
5
D．三人中至少有两人选了同一门课程的概率为
9
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第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
16．已知 z C ，且 z (1+ i) = 2i ，则 z z = ▲ ．
17．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) = 2x + m ，且 f (1) f ( 2) = 8，则
f ( 3) + f (0) = ▲ ．
18．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，c＝2，b＝1，A＝120°，则 sinB= ▲ ．
19．已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 ABC =120 ， AA1 = 2，
点 P 是平面 BCC1B1 上的动点，若 AP = 5 ，则动点 P 的轨迹长度为 ▲ ．
四、解答题（本大题共 3 小题，共 34 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
20．已知函数 f (x) = sin(x + ) cos(x + ) ， g(x) = sin(2x + ) ．
4 4 2 3

（1）当 x [ , ]时，求函数 f (x) 的值域；
6 6
（2）要得到函数 g(x)的图像，只需将 f (x) 的图像向右平移m(m 0)个单位长度，求m 的最小值．
21．如图，四面体 ABCD 中， AB = BC，AD =CD ．
（1）若 E 是 AC 的中点，求证：平面 BDE⊥平面 ACD；
（2）设 BAC = 60 ， AB = 2AD ，当四面体 ABCD 体积最大时，求平面 ABD 与平面 CBD 所
成锐角的余弦值．
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22．对于函数 f (x) ，若对定义域内的任意实数 x ，满足 f ( x) = f (x) ，则称函数 f (x) 为“奇函数”；
若在定义域内存在实数 x0 ，满足 f ( x0 ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 为“类奇函数”，并称 x0 为函数
的“类奇特征根”．已知函数 f (x) = 4x m 2x (m R)．
（1）当m =1时，试判断 f (x) 是否为“类奇函数”？若是，求出其“类奇特征根”；若不是，请
说明理由；
log f (x), x 2
（2）若函数 2g(x) = 是定义域上的“类奇函数”，求实数 m 的取值范围；
1, x 2
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普通高中学业水平合格性考试模拟试卷 数学（三）
参考答案
一、 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B C D A
题号 7 8 9 10 11
12
B D B B B C 答案
二、 多项选择题
题号 13 14 15
答案 BCD AD AC
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
16．【答案】 2i
2i
【解】 z (1+ i) = 2i ， z = =1+ i ， z =1 i ，则 z z = 2 i ．
1+ i
17．【答案】 9
【解】因为函数 f (x) 是奇函数， f (1) f ( 2) = 2 +m + 4+m = 8 ， m =1 ，则当 x 0 时，
f (x) = 2x +1
又 f (0) = 0，则 f ( 3) + f (0) = 9
21
18．【答案】
14
2 2 2 bsin A 21【解】根据余弦定理， a = b + c 2bccos A = 7， sin B = = ；
a 14
2
19．【答案】
4
【解】如图，延长 CB，过 A 作 AF ⊥CB 于 F，取 E 为 BB1的中点，则
AE = 5
因为 AP = 5 ，则 P 点在以 A 为球心半径为 5 的球上，则在
平面 BCC1B1 上的轨迹是以 F 为圆心的圆弧，又 BE = BF =1，

则 EFB = ，所以 P 的轨迹是圆心角为 ，半径为 2 的圆
4 4
2
弧，其长度为 。
4
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四、解答题（本大题共 3 小题，共 34 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解：
1 1
（1） f (x) = sin(x + ) cos(x + ) = sin(x + ) = cos 2x
4 4 2 2 2
1
当 x [ , ]时， 2x [ , ]， cos 2x [ ,1]
6 6 3 3 2
1 1
故函数 f (x) 的值域为[ , ]；
4 2
1 1
（2） f (x) = sin(x + ) cos(x + ) = sin(x + ) = cos 2x
4 4 2 2 2
1
函数 f (x) 图像向右平移 m 个单位长度后，得到函数 y = cos[2(x m)]，
2
1 1 1
所以， y = cos[2(x m)] = cos(2x 2m) = sin(2x 2m + )
2 2 2 2

则 2m + = + 2k ,k Z ，即m = k + ,k Z
2 3 12

故mmin =
12
21．证明：
（1）因为 AB = BC，AD =CD ，E 是 AC 的中点
所以， BE ⊥ AC ， DE ⊥ AC
又 BE DE = E ，则 AC ⊥平面 BDE
又 AC 平面 ACD，故平面 BDE⊥平面 ACD
（2）因为 BAC = 60 ， AB = BC ，则 ABC 为正三角形，
又 AB = 2AD ，即 AC = 2AD ，则 ADC 的等腰直角
三角形，
当四面体 ABCD 体积最大时，则 DE ⊥平面 ABC，即
DE ⊥ BE
设 AB = BC = AC = 2 ，则 AD = 2, DE =1， BE = 3 ，
所以 BD = 2
过 A 点作 AH ⊥ BD于 H，连接 CH，则 AHC 即为平面 ABD 与平面 CBD 所成的角或其
补角，
7 7
AH 2 +CH 2 2
+ 4
7 AC 1
其中， AH = CH = ， cos AHC = = 4 4 =
2 2AH CH 7 7
2
1
故平面 ABD 与平面 CBD 所成锐角的余弦值为
7
22．【解析】
（1）当 时， f (x) = 4xm =1 2x ，假设存在实数 x0 ，使得函数满足“类奇函数”
则 ，即 x0 x xf ( x0 ) = f (x0 ) 4 2
0 = 4 0 + 2 x0
x 1 x 1 x 1 x 1
(4 0 + ) (2 0 + ) = 0， (2 0 + )2 (2 0 + ) 2 = 0
x0 x4 2 0
x x
2 0 2 0
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x 1 1
2 0
x
+ = 2或 2 0 + = 1（舍去）
x
2 0
x
2 0
解得， x0 = 0，
故，函数 f (x) 是“类奇函数”，其“类奇特征根”为 x0 = 0
log2 f (x), x 2（2）因为 g(x) = ，则 f (x) 0 在 (2,+ )上恒成立，
1, x 2
即 4x m 2x 0，m 2x 恒成立，所以m 4 .
log f (x), x 2
因为函数 2g(x) = 是定义域上的“类奇函数”，
1, x 2
所以存在实数 x0 使得 f ( x0 ) = f (x0)，
当 x xx0 2 时，则 x0 2，所以 log2 f (x0 ) = 1， 4
0 m 2 0 = 2 ，
2 2 7
即 x xm = 2 0 在 (2,+ )上有解，函数 h(x ) = 2 00 单调递增，且 h(2) = x
2 0
x
2 0 2
7
所以，m ；
2
当 x xx0 2时， x
0 0
0 2 ，所以 log2 f ( x0 ) =1， 4 m 2 = 2，
1 1 7
即 xm = 2 2 0 在 ( , 2)上有解，函数 xH (x ) = 2 2 0 单调递减，且H ( 2) =
x 00 x2 2 0 2
7
所以，m ；
2
当 2 x0 2 时，显然不成立，
综上所述，实数m
7
的取值范围为 ( ,4] .
2
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参考答案
一、 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B C D A
题号 7 8 9 10 11 12
答案 B D B B B C
二、 多项选择题
题号 13 14 15
答案 BCD AD AC
三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
16.【答案】2i
【解】 则
17.【答案】-9
【解】因为函数f(x)是奇函数, f(1)-f(-2)=2+m+4+m=8, m=1, 则当x>0时,
又f(0)=0, 则f(-3)+f(0)=-9
18.【答案】
【解】根据余弦定理，
19.【答案】
【解】如图, 延长CB, 过A作AF⊥CB于F, 取E为BB 的中点,则
因为 则P 点在以A为球心半径为 的球上，则在平面BCC B 上的轨迹是以F为圆心的圆弧, 又BE=BF=1,则 所以P的轨迹是圆心角为 半径为 的圆弧，其长度为
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四、解答题(本大题共3小题，共34分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20. 解:
当 时，
故函数f(x)的值域为
函数f(x)图像向右平移m个单位长度后，得到函数
所以，
则 即
故
21. 证明:
(1) 因为AB=BC, AD=CD, E是AC的中点
所以, BE⊥AC, DE⊥AC
又BE∩DE=E, 则AC⊥平面BDE
又AC 平面ACD, 故平面 BDE⊥平面ACD
(2) 因为∠BAC=60°, AB=BC, 则△ABC为正三角形,又 即 则△ADC的等腰直角三角形，
当四面体 ABCD 体积最大时,则DE⊥平面 ABC, 即DE⊥BE
设AB=BC=AC=2, 则 所以BD=2
过A点作AH⊥BD于H,连接CH, 则∠AHC即为平面ABD与平面CBD所成的角或其补角，
其中，
故平面 ABD 与平面 CBD 所成锐角的余弦值为
22.【解析】
(1)当m=1时, 假设存在实数x ，使得函数满足“类奇函数”则 即
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或 (舍去)
解得，
故，函数f(x)是“类奇函数”，其“类奇特征根”为
(2) 因为 则f(x)>0在(2,+∞)上恒成立,即 恒成立，所以m≤4.
因为函数 是定义域上的“类奇函数”，
所以存在实数x 使得.
当 时，则 所以
即 在(2,+∞)上有解, 函数 单调递增，且
所以，
当 时， 所以
即 在(-∞,-2)上有解, 函数 单调递减，且 所以，
当 时，显然不成立，
综上所述，实数m的取值范围为
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普通高中学业水平合格性考试模拟试卷 数学(三)
第Ⅰ卷
一、单项选择题(本大题共 12小题，每小题3分，共36分。每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1. 已知集合 集合且x∈P}, 则Q=
A. {0,1,2} B. {-2,-1,0,1,2} C. {1,2} D. {-2,-1,1,2}
2.不等式 的解集是
3. 已知α是第三象限的角, 若tanα=2, 则cosα的值为
4.为了解高二学生的数学作业时间，学校抽取了100名学生进行调查，并将其数学作业时长进行了统计，并作出如图所示的频率分布直方图.则根据图示估计第75百分位数是
A. 70 B. 75
C. 80 D. 82
5. 函数 的定义域是
A. (-3,1] B. (-∞,-3)∪(1,+∞)
C. (-3,1) D. (-∞,-3)∪[1,+∞)
6.已知向量a，b满足| 则向量b在向量a方向上的投影向量是
A. B. C. a D.
7.如图是一个四分之一球形状的储物盒，内部放置一个正方体，若该球的半径为1，则其内置正方体的最大体积是
A.
C. D.
8.已知空间中的三条直线a,b,c, “a,b,c过同一点”是“a，b，c共面”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.在平面四边形 ABCD 中, ∠BAC=∠DAC, 则AC=
A. 6
D. 7
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10.计算机的硬件由大量逻辑电路组成，而电子元件如晶体管等很容易实现开和关、高电平与低电平这两种稳定状态，正好对应二进制的 0 和 1。这使得计算机的电路设计、制造和维护都相对简单，降低了硬件的复杂性和成本，也有利于提高计算机的集成度和运行速度。计算机在某个信息传输过程中，用8个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，所用数字只有0和1.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个1的概率是
11. 已知函数在 R 上单调递增，则实数a的取值范围是
A. (-1,2] B. [-2,+∞) C. [-2,1] D. (-∞,-1]
12. 若 在(π/2，π)上为单调函数，则实数ω的取值范围是
A. (0,2]
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分)
13.关于函数 的如下结论，正确的是
A. f(x)的最小正周期是π
B. f(x)的最大值是2
C. f(x)的图像可以由函数 的图像向右平移π/3个单位得到
D. f(x)在区间 上单调递增
14. 若a,b∈(0,+∞), 且a>b, 则下列不等式恒成立的是
15.学校开设A、B、C三门选修课程供学生选择，每个同学必须且只能选择一门课程，同学们选择每一门课都是等可能的，下列对甲、乙、丙三位同学的选课描述正确的是
A.三人选同一门课程的概率为
B.三人选课均不相同的概率为
C.三人中有两人选择A课程的概率为
D.三人中至少有两人选了同一门课程的概率为
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第Ⅱ卷
三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
16. 已知z∈C, 且z·(1+i)=2i, 则.
17. 已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x>0时， 且 则f(-3)+f(0)= ▲ .
18. 在△ABC中, 角A,B, C所对的边分别为a, b, c, c=2, b=1,A=120°,则.
19.已知直四棱柱 的底面ABCD 是边长为2 的菱形，且. 点 P 是平面BCC B 上的动点,若. 则动点 P 的轨迹长度为 ▲ .
四、解答题(本大题共3小题，共34分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20. 已知函数
(1) 当 时，求函数f(x)的值域；
(2)要得到函数g(x)的图像，只需将f(x)的图像向右平移 个单位长度，求m的最小值.
21. 如图, 四面体ABCD中,
(1) 若E是AC的中点, 求证: 平面BDE⊥平面ACD;
(2) 设 当四面体 ABCD 体积最大时，求平面ABD 与平面 CBD 所成锐角的余弦值.
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22.对于函数f(x)，若对定义域内的任意实数x，满足 则称函数f(x)为“奇函数”；若在定义域内存在实数. 满足 则称 f(x)为“类奇函数”，并称x 为函数 的“类奇特征根”.已知函数
(1) 当 1时，试判断f(x)是否为“类奇函数” 若是，求出其“类奇特征根”；若不是，请说明理由；
(2)若函数 g（x）=是定义域上的“类奇函数”，求实数m的取值范围；
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