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数学
（120分钟 150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知，，则（a，b）可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，若，求（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的方程在（0，π）内恰有2个不相等的实数根，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ）
A．856 B．527 C．728 D．242
6．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式，现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米
7．已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为F（1，0），过点F作斜率为2直线AB与抛物线交于A，B两点（点A位于第一象限）。过点A作准线的垂线AM，的角平分线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱”的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
9．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点（0，1）
B．直线l与圆恒相交
C．直线l被圆截得的最短线段长为
D．圆C与圆M：有2条公共切线
10．某校期末考试数学试卷满分为150分，分数在区间[90，120）内为及格，分数在区间[120，135）内为良好，分数在区间[135，150）内为优秀，阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数＝平均分/满分）为0.48，标准差为24，下面说法正确的有（ ）
附：若，记，，，．
A．此次考试平均分是72分 B．
C．此次考试及格率为45％ D．则该次数学考试获得及格评价的人数大约为245人
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在（0，ln2）上单调递增
B．函数有1个零点
C．对任意，，都有
D．若函数在区间[0，2）上有且只有一个零点，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为________．
13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的最小值为________．
14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）在三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角C的大小；
（2）若面积为2，求c的值．
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．
（1）求证：平面平面PBD；
（2）若直线PA与平面PBD所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值．
17．（本小题满分15分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求四边形的面积的最大值．
18．（本小题满分17分）已知．
（1）当时，的单调性；
（2）若函数存在正零点，求实数a的取值范围；
（3）当时，若在恒成立，请求出m的取值范围．
19．（本小题满分17分）已知首项为1的数列满足．
（1）若，在所有（）中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若数列满足：若存在，则存在（且），使得．
（Ⅰ）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前n项和；
（Ⅱ）在所有满足条件的数列中，求使得成立的s的最小值．
数学
1．D 当时，由知，所以（a，b）为或，当时，由知，，所以（a，b）为或（0，1）或（0，2），当时，由知，，所以（a，b）为或（1，0）；当，则，所以（a，b）为（2，0）综上，共有8种取值．故选D．
2．A ，故虚部为．故选A．
3．D 因为，所以，即，即，，所以．
4．C 因为，所以，所以，所以，由，可得，因为方程有2个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得，解得，所以ω的取值范围．故选C．
5．C 由题意可得将八进制数转换为十进制数，则转换后的数为，故选C．
6．A 设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学喇叭的声强为10m，喷出泉水高度为2米，由题意知，，即①，又，即②，，得，解得．故选A．
7．D 因为抛物线C：（）的焦点为F（1，0），抛物线抛物线C的方程为，由题意可知直线AB的方程为AB：，联立方程得，，解方程得点A的纵坐标，，点．由抛物线的性质可得的角平分线所在直线为过点A的抛物线切线，该方程为，，．故选D．
8．A 如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为，，连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，因为棱长为4，可知，，．过点B作于点C，则，，易得四边形为矩形，即，，则，即该“四角反棱柱”外接球的半径，故该“四角反棱柱”外接球的表面积为，故选A．
9．BD 对于A，当时，，故直线l定点，故A错误；对于B，C：，圆心C为，因为，所以位于圆内，所以直线l与圆恒相交，故B正确；对于C，定点与圆心的距离为，直线l被圆截得的最短线段长为，故C错误；对于D，圆C与圆M圆心的距离为，所以两圆相交，有两条公共切线，故D正确．故选BD．
10．AD 对于A，由题意得，，所以平均分为72分，故A正确，对于B，，故B错误；对于C，及格率为及格以上人数与全体学生数的比值，即计算．，故C错误；对于D，获得的及格评价的学生分数在[90，120），∵，，∴．，∴该校评价为及格的人数为（人），故D正确．故选AD．
11．BC 函数的定义域为R，则，对于A，当时，，则在（0，ln2）单调递减；当或时，，则在，单调递增，故A错误；对于B，由A可知，在处取极大值，在处取极小值，极大值为且；又当，，故在R上只有一个零点，故B正确；对于C，代表该函数为凹函数，，，当时，恒成立，函数为凹函数，故C正确；对于D，，，在（0，ln2）单调递减，在（ln2，2）单调递增，所以在区间[0，2）上有且仅有一个根等价于函数在[0，2]上的图象与直线只有一个交点，所以，故D错误．故选BC．
12． 由等差数列性质可得，同理可得，所以，由，可得．
13．12 根据正弦定理可知，，所以，所以．因为，，∴，把代入，得，化简得，令，则该式为，即，则，或，因为，所以，解得，所以，所以的最小值为12．
14． 若三局结束比赛，则可能三局均为甲胜，或者三局均为乙胜，若均为甲胜，则概率．若均为乙胜，则概率．．即，，解得或（舍去），所以．若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，其中甲在第1、2、4场获胜的概率，其中甲在第1、3、4场获胜的概率，其中甲在第2、3、4场获胜的概率，所以打完4场结束比赛甲获胜的概率，故答案为．
15．解：（1）因为，，且A、，所以，，
所以
，
因为，所以．
（2）由三角形面积公式可得，
所以，又由正弦定理，得，
所以，解得，所以．
由余弦定理，可得，
所以．
16．（1）证明：在四棱锥中，，，，，
所以，，，，
∴．
∵平面ABCD，平面ABD，∴．
∵，∴平面PAB
又∵平面PBD．
∴平面平面PBD．
（2）解：假设，由（1）可知平面PAD．
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，方向为x轴方向，方向为z轴方向，在平面ABCD内作，以为y轴方向．
则A（0，0，0），P（0，0，a），B（1，1，0），D（2，0，0），E（1，0，0），C（2，1，0），
，，，
设平面PBD的法向量为，
则，
令，则，，所以，
直线PA与平面PBD所成角的正弦值为，
解得，所以P（0，0，2）．
，，
设平面PCE的法向量为，
则，令，则，，所以，
设平面ACE的法向量为
的平面角的余弦值为
的平面角的正弦值为
∴的平面角的正切值．
17．解：（1）由已知得，，则，
故椭圆的标准方程为．
（2）如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，
利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形的面积是面积的一半．
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l：，
代入E：，整理得，显然，
设，，则，
于是，
，
点到直线l：的距离为，
则四边形的面积为，
令，则，且，代入得，，
当时，等号成立，此时．
18．解：（1）的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递减，没有单调递增区间．
（2）由（1）知，，
令，，
当时，，单调递减．
①当时，可知，在内单调递减，
又，故当时，，所以不存在正零点；
②当时，，，，
在单调递减，故当时，，函数不存在正零点；
③当时，，此时，，
所以存在满足，
所以在内单调递增，在内单调递减．
令，则当时，，
故在（0，1）内单调递增，在内单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以，
因此，此时存在正零点；
综上，实数a的取值范围为．
（3）构建，
因为，可知的定义域为R，
且
，
若，则；若，则；
可知在上单调递减，在上单调递增，
因为恒成立，则有
因为，可得，
因为在内单调递减，在内单调递增，
，
则对任意恒成立，所以．
综上所述，．
19．（1）解：依题意，，
故，
即，故，或，
因为，，故；
则：1，4，7，10，13；：1，4，7，，；：1，4，，0，3；：1，4，，4，7
：1，4，7，10，；：1，4，7，，7；：1，4，，0，1；：1，4，，4，，
故X的可能取值为0，1，2，
故，，，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
故．
（2）（Ⅰ）证明：由（1）可知，当时，或，；
假设此时数列中存在最小的整数i（），使得，
则，，…，单调递增，即均为正数，且，所以；
则存在，使得，此时与，，…，均为正数矛盾，
所以不存在整数i（），使得，故．
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
则．
（Ⅱ）解：由，可得，
由题设条件可得，，，…，，，必为数列中的项；
记该数列为，有（）；
不妨令，则或，
均不为；
此时或或或，均不为．
上述情况中，当，时，，
结合，必有，，则有．
由可知，使得成立的s的最小值为．

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