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人教版 数学 八年级 上册
18.5 分式方程(第1课时)
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等,江水的流速为多少
解:设江水的流速为 v km/h，
根据题意，得
导入新知
这样的方程与以前学过的方程一样吗？
1.了解分式方程的概念．
2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．
素养目标
3.了解解分式方程时解需要进行检验的原因．
为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ．
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分式方程的概念
探究新知
知识点 1
　 方程 　　　　　　　　　　　
与上面的方程有什么共同特征？
追问1：
分母中都含有未知数．
分式方程的概念：
　　分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
分式方程的特征：分母中含有未知数.
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
探究新知
你能再写出几个分式方程吗？　　
追问2：
下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 　 （填序号）．
（2）
（1）
巩固练习
（3）
总结：
　　这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．
你能试着解分式方程 吗？
解分式方程
探究新知
知识点 2
问题1：
这些解法有什么共同特点？
问题2：
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
（4）这样做的依据是什么？
探究新知
想一想
例　解分式方程
即
解得
则得到
方程两边同乘各分母的最简公分母
探究新知
（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
探究新知
归纳总结
你得到的解 是分式方程
的解吗？　　　
检验：把v=6代入分式方程得：
左边=
右边=
左边=右边，所以v=6是原方程的解.
探究新知
追问：
解分式方程：
　　　　 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
探究新知
问题3：
你得到的解 是分式方程
的解吗？该如何验证呢？　　
追问1：
解：方程两边乘(x-5)(x+5)，去分母得整式方程x+5=10. 解得x=5.
上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 的解 是分式方程
的解，而整式方程x＋5=10
的解 　
却不是分式方程　
的解？
探究新知
追问2：
原因：
　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．
检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
探究新知
显然，第(2)种方法比较简便！
回顾解分式方程 与
的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
探究新知
问题4：
基本思路：将分式方程化为整式方程.
一般步骤：
（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
①
②
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；
巩固练习
例1　解下列方程：
解分式方程
解：方程的两边同乘以x(x–3)，
得2x=3x–9
解得x=9
检验：当x=9时，x（x–3）≠0.
所以，原方程的解是x=9.
探究新知
素养考点 1
解下列方程：
解：方程两边乘2x(x+3)，
得x+3=4x.
解得x= 1.
检验：当x=1时，2x（x+3）≠0.
所以，原方程的解是x=1.
巩固练习
例2 解方程　
解：方程两边乘 ，
得 =3.
化简，得 =3.
解得 =1.
检验：当 =1时， =0.
因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
解含有整式项的分式方程
探究新知
素养考点 2
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4.写出原方程的解.
解分式方程的思路：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
探究新知
解分式方程的一般步骤：
探究新知
归纳总结
分式方程
整式方程
x=m
x=m是分式方程的解
x=m不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A. 2(x–8)+5x=16(x–7)
B. 2(x–8)+5x=8
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析：原方程可以变形为 ，两边都乘以2（x–7）,得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).
A
巩固练习
易错易混点拨：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.
方法点拨
巩固练习
1.分式方程 的解是（　　）
A．3 B．2 C． D．
D
2.若分式方程 的解为正整数，则整数m的值
为 .
链接中考
解析：方程两边乘x-1，得x=3(x-1)+mx. 解得x=.
∵方程的解为正整数，
∴2+m=1或3.
解得m=-1或m=1(舍去，会使分式无意义)
m=-1
1.若关于x的分式方程 的解为x=2，则m的值
为（　　）
A．5 B．4
C．3 D．2
B
基础巩固题
课堂检测
2.方程的解为（　　）
A．x = –1 B．x = 0
C．x = D．x =
D
课堂检测
解：方程两边乘3x(x-1)，得3x+3–(x–1)=x2+kx，
整理，得x2+(k–2)x–4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程，得–4=0，所以x=0不是分式方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,分式方程有增根x=1.
已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.
能力提升题
课堂检测
解方程:
拓广探索题
课堂检测
解：方程可化为：
课堂检测
整理，得
解得x = –3.
经检验：x = –3是原方程的解.
课堂小结
解分式方程
整式方程
x=m
x=m是分式方程的解
x=m不是分式方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
分式方程
定义
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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