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17.1 用提公因式法分解因式
人教版 数学 八年级 上册
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11,42分解成2×3×7.类似于整数的分解，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫作什么呢？
导入新知
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
素养目标
3. 会利用因式分解进行简便计算.
探究新知
知识点 1
因式分解的概念
请同学们先完成下列计算，看谁算得又准又快.
(1)20×(－3)2＋60×(－3)； (2)1012－992；
(3)572＋2×57×43＋432.
解：方法一：
(1)原式=20×9﹣180
=180﹣180
=0.
(2)原式=10201﹣9801
=400.
(3)原式=3249+4902+1849
=8151+1849
=10000.
方法二：
(1)原式=﹣3×[20×(﹣3)+60]
=﹣3×（﹣60+60）
=0.
(2)原式=（101+99）×（101-99）
=200×2
=400；
(3)原式=（57+43）2
=1002
=10000.
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得分怎样计算？
p(a+b+c)①和pa+pb+pc②
探究新知
知识点 1
因式分解的概念
﹣
p(a+b+c)=pa+pb+pc
整式乘法

1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) p(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x–1)= ；
(3) (a+b)2 = .
pa+pb+pc
x2 –1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) pa+pb+pc=( )( )
(2) x2 –1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
p a+b+c
x+1 x–1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
探究新知
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
探究新知
pa+pb+pc p(a+b+c)
因式分解
整式乘法
pa+pb+pc = p(a+b+c)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
探究新知
想一想
例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式乘积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
素养考点 1
因式分解变形的识别
探究新知
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
巩固练习
pa+pb+pc
用提公因式法分解因式
多项式中各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式.
公共因式p
观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
公共因式x
知识点 2
探究新知
问题1：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
探究新知
找出 3x 2 – 6xy 的公因式.
系数：最大公因数.
3
字母：相同的字母.
x
所以这个多项式的公因式是3x.
指数：相同字母的最低次数.
1
如何确定一个多项式的公因式？
探究新知
问题2：
探究新知
(1)ax＋ay＋a； (2)3mx－6mx2； (3)4a2＋10ah；
(4)x2y＋xy2；　　 (5)12xyz－9x2y2.
解：（1）a；
（2）3mx;
(3)2a；
（4）xy；
（5）3xy
观察上面的公因式的特点，想一想确定公因式的方法？
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
找出多项式的公因式的正确步骤：
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
探究新知
归纳总结
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例1 把下列各式分解因式.
分析：提公因式法步骤(分两步)
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) – 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
素养考点 1
利用提公因式法分解因式
探究新知
解：(1) 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c，
它还有公因式是b.
(2) 2a(b+c)–3(b+c)
=(b+c)(2a–3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
探究新知
方法总结：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)；
(3) (a＋b)(a–b)–a–b.
(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(b＋c)(2a–3)；
巩固练习
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2.
注意：公因式要提尽.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有误吗？
巩固练习
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出莫漏1.
解：原式 =x(3x–6y).
把3x2 – 6xy+x分解因式.
正解：原式=3x·x–6y·x+1·x
=x(3x–6y+1)
小亮的解法有误吗？
巩固练习
提出负号时括号里的项没变号.
错误
把 – x2+xy–xz分解因式.
解：原式= – x(x+y–z).
注意：首项有负常提负.
正解：原式= – (x2–xy+xz)
= – x(x–y+z)
小华的解法有误吗？
巩固练习
提取公因式分解因式的技巧：
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；
⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.
归纳总结
探究新知
例2 计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝20.16×100
＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
素养考点 2
利用因式分解进行简便运算
探究新知
=259
= 9900
(1)
992＋99
(2)
= 99×(99+1)
简便计算.
巩固练习
解：原式=259
解：原式=99×99+99
(3) 13.8×0.125+86.2×
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
例3 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
素养考点 3
利用因式分解求整式的值
探究新知
已知a-b=5，ab=3，求a2b-ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a-b)
=3 × 5
=15
巩固练习
1. 分解因式：x2–3x=_________．
2. 若mn=2，m-n=1，则m2n-mn2=　　．
解析：∵mn=2，m-n=1，
∴m2n-mn2=mn(m-n)
=2×1
=2．
x(x–3)
2
链接中考
1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　)
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　)
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　)
A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)
C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)
B
C
D
课堂检测
基础巩固题
4.把下列各式分解因式：
(1)m2–3m=　 ；(2)12xyz–9x2y2=_____________；
(3)(x+2)x–x–2=___________　；
(4) –x3y3–x2y2–xy=_______________；
3xy(4z–3xy)
–xy(x2y2+xy+1)
(5)(x–y)2+y(y–x)=_____________.
(y–x)(2y–x)
5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________.
3a(x–y)2
m(m–3)
(x+2)(x–1)
课堂检测
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142;
(3)(–2)101+(–2)100.
(2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142
=2013×2014 –20142
=2014×(2013–2014)
= –2014．
解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.
课堂检测
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]
=(2x+1)(2x+1–2x+1)
=2(2x+1).
(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= .
当x= 时，
能力提升题
原式=2×(2× +1)=4.
课堂检测
△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab–c–2bc＝0，
(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，
∴a–c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝–0.5(舍去)，
拓广探索题
课堂检测
提公因式法分解因式
定义
pa+pb+pc=p(a+b+c)
方法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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