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第4章《一次函数》章节检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．星期一学校举行升国旗仪式，开始国旗与小旗手的肩同高，下列图象能反映国旗距离地面高与升旗时间关系的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，那么一定有（　　）
A． B． C． D．
3．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，若的面积为6，则点C的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．将直线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到直线，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．平面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形…按如图所示的方式放置．点…在直线上，点…在x轴上，若点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）

A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变
10． 已知：直线y=x+（n为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2019（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，则此直线的解析式为 ．
12．一次函数（是常数，且）的图像如图所示，则方程的解为 ．
13．直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ．
14．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时．
15．规定是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则直线与横轴的交点坐标是 ．
16．腰长为4的等腰直角放在如图所示的平面直角坐标系中，点A、C均在y轴上，C(0，2)，∠ACB=90，AC=BC=4，平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D，点P是直线x=-2上一动点，且在点D的上方，当时，以PB为直角边作等腰直角，则所有符合条件的点M的坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）2023年6月日，由深圳市文化广电旅游体育局和大鹏新区管委会主办的粤港澳大湾区（深圳南澳）海上龙舟赛在深圳大鹏南澳月亮湾举行，参赛队伍有29支．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程（米）与划行的时间（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)甲队划行的速度为　　；当时，乙队划行的速度为　　；当时，乙队划行的速度为　　；
(2)当　　分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
(3)当　　分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
18．（6分）已知与成正比例，且当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值．
19．（8分）已知函数．
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标：
①横坐标是；
②和轴的距离是2个单位长度．
20．（8分）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：
①当时，______；
②当时，______；
③当时，______；
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，方程有______个解；
②方程有______个解；
③若关于x的方程无解，则a的取值范围是______．
21．（8分）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少，下坡的速度比在平路上的速度每小时多，设小冲出发x h后，到达离乙地的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
（2）分别求线段所对应的函数关系式；
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为，求丙地与甲地之间的路程．
22．（8分）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
(2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
(3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
23．（8分）如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．

(1)求点A的坐标；
(2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
参考答案
选择题
1．A
【分析】国旗距离地面高与升旗时间关系应该是直线上升，最后一段时间国旗不再上升，时间仍然增加，得出符合要求的图象即可．
【详解】解：国旗距离地面高与升旗时间关系应该是直线上升，最后一段时间国旗不再上升，
只有A符合要求，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查正比例函数图象与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，先根据坐标特征分析点所在象限，从而确定正比例函数的图象所过的象限，再由两点不在同一个象限即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质及平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：∵点的横坐标为，
∴此点在二、三象限；
∵点的纵坐标为，
∴此点在一、二象限，
∴此函数的图象一定经过一、三象限，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，选项的图象符合要求；
故选：．
4．A
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，找出关于的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，设点的坐标为，根据的面积为6，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值，进而可得出点的坐标．
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为，
，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为．
设点的坐标为，则，
解得：或，
∴点的坐标为或．
故选：C．
6．A
【分析】根据直线向左平移个单位，变为，再向上平移个单位，变为，然后结合得到直线，即可解出和的值．
【详解】解：直线向左平移个单位，变为，
再向上平移个单位，变为，
得到直线，
，，
，，
故选：．
7．D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点，得出y随x的增大而增大，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答．
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴，
∴A、B、C均错；
∵点在直线l上，
∴．
故选D．
8．B
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、规律性：点的坐标，解答本题的关键是发现点的横纵坐标的变化特点，写出其相应的坐标．根据题意和函数图象，可以先写出的坐标，然后即可发现横、纵坐标的变化特点，即可写出点的坐标．
【详解】解：∵点，点在直线上，
∴，
∵正方形，
∴点的坐标为，，
同理：，点的坐标，
点的坐标，
…，
则点的坐标为，
点的坐标．
故选：B．
9．D
【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案．
【详解】解：连接，
点、的坐标分别为、，
设所在直线解析式为：，
，
解得：，
所在直线解析式为：，
将直线：向上平移1个单位即可得直线，
两直线平行，
点是第一象限内直线上的一个动点，
到直线的距离是定值，
是定值，是定值，到直线的距离是定值，
∴是定值，
∴是定值，
当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变．
故选：D．
10．D
【分析】依次求出S1、S2、S3，就发现规律：Sn=×，然后求其和即可求得答案．注意．
【详解】解：∵当n=1时，直线为y=x+，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（-1，0），
∴S1=×1×=；
当n=2时，直线为y=x+，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（-，0），
∴S2=××=×；
当n=3时，直线为y=x+，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（-，0），
∴S3=××=×；
…，
Sn=×，
∴S1+S2+S3+…+S2019=×（1-+++…+-）=（1-）=
故选：D．
二．填空题
11．或
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据平方的定义解方程．
先求出该直线与x轴和y轴的交点坐标，再根据该直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，列出方程，根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：把代入得：，
∴该直线与y轴交点坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴该直线与x轴交点坐标为，
∵该直线与坐标轴围成的三角形的面积为4，
∴，
即，
解得：，
∴此直线的解析式为或．
故答案为：或．
12．
【分析】结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解．
【详解】∵一次函数（是常数，且）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为，
∴的解为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．先根据一次函数的图象交x轴交于点可知，当时函数图象在x轴上，代入即可得出结论．
【详解】解：直线与x轴交于点，
当时函数图象在x轴上，即，
∴的解是．
故答案为：．
14．4或或
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
设两车出发后两车相距．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时．
故答案为：或或．
15．
【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数图象与坐标轴的交点．
根据正比例函数的定义可得，求得，则直线即为，令，即可求得该直线与横轴的交点坐标．
【详解】解：∵“特征数”是的一次函数是正比例函数，
∴，解得，
∴直线即为，
令，则，
解得，
∴直线与横轴的交点坐标为．
故答案为：
16．或或或
【分析】根据等腰直角三角形存在性问题的求解方法，通过分类讨论，借助全等的辅助，即可得解.
【详解】∵，AC=BC=4，平行于y轴的直线交线段AB于点D，
∴
∵
∴
∴PD=2
∴
以PB为直角边作等腰直角
如下图，作⊥于R
∵
,
∴
∴，RP=BS=2
∴；
以PB为直角边作等腰直角
同理可得；
以PB为直角边作等腰直角
同理可得；
以PB为直角边作等腰直角
同理可得，
∴M的坐标为或或或，
故答案为：或或或.
三．解答题
17．（1）由图象可知，甲队划行的速度为：（米分）；
当时，乙队划行的速度为：（米分）；
当时，乙队划行的速度为：（米分）；
（2）设时间为时，甲、乙两队划行的路程相等，
由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等，
，
解得，
即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等；
（3）根据甲、乙的函数图象可知，
1）当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为，
在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则，
解得，符合题意；
2）当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为，
在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为，
则或
解得或，符合题意；
综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米．
18．（1）解：设，
把，代入，得，
解得，
∴
（2）解：点关于轴的对称点为，
∵在的图象上，
∴．
19．（1）解：在函数中，
当时，，则过，
当时，，解得：，则过，
画出该函数图象如图所示：
；
（2）解：①当时，，
横坐标是的点是；
②和轴的距离是2个单位长度，
或，
当时，，解得：，此时点的坐标为，
当时，，解得：，此时点的坐标为，
综上所述，和轴的距离是2个单位长度的点的坐标为或．
20．（1）解：①当时，；
②当时，；
③当时，；
故答案为：；，；
（2）函数的图象，如图所示：
；
（3）由图象可知：
①函数图象关于轴对称；
②当时，有最小值．（答案不唯一）；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解；
②方程有1个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是．
故答案为：2，2；1；．
21．解：（1）小冲骑车上坡的速度为：km/h，
平路上的速度为：km/h；
下坡的速度为：km/h，
平路上所用的时间为：h，
下坡所用的时间为：h，
所以小冲在乙地休息了：h；
（2）由题意可知：上坡的速度为km/h，下坡的速度为km/h，
所以线段所对应的函数关系式为：，
即．
线段所对应的函数关系式为．
即；
（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在段，第二次经过丙地在段，
设小冲出发小时第一次经过丙地，则小冲出发后小时第二次经过丙地，
，
解得：．
（千米）．
答：丙地与甲地之间的距离为1千米．
22．（1）解：根据题意，得：
，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为；
（2）当时，，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
（3）由题意，得，
由（1）可知为，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值为，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．
23．（1）解：∵直线与x轴交于点A，
当时，，
A点坐标；
（2）解：联立和，
解得：，代入，得，
C点坐标；
∵直线与y轴交于点D，
当时，，
．
（3）解：设直线交y轴于点E，过点C作于F，如图，

在中，令，则，
，
∵点，，．
，，，
．

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