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北师版九下数学-期末综合测试卷(二)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,若∠D=110°,则∠BAC的度数为( )
A.20° B.35° C.55° D.90°
2.已知α为锐角,sin (α-20°)=cos 30°,则α的度数为( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
3.如图所示的是一把折扇的示意图,若AO=5,BO=2,∠AOD=120°,则阴影部分面积为( )
A.14π B.7π C.π D.2π
4.如图所示,半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( )
A.10 cm B.16 cm
C.24 cm D.26 cm
5.如图所示,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则 cos∠AOD 等于( )
A. B. C. D.
6.如图所示,△ABC的内切圆(圆心为点O)与各边分别相切于点D,E,F,连接EF,DE,DF.以点B为圆心,以适当长为半径作弧分别交AB,BC于G,H两点;分别以点G,H为圆心,大于GH的长为半径作弧,两条弧交于点P;作射线BP.下列说法:①射线BP一定过点O;②点O是△DEF三条中线的交点;③若△ABC是等边三角形,则DE=BC;④点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点.其中正确的是( )
A.①③④ B.②③
C.①③ D.①②③④
7.若一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+3的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
8.将抛物线C1:y=x2-2x+3向左平移2个单位长度,得到抛物线C2,将抛物线C2绕其顶点旋转180°得到抛物线C3,则抛物线C3与y轴的交点坐标是( )
A.(0,-1) B.(0,1) C.(0,-2) D.(0,2)
9.如图所示,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为,P为AB边上一动点,过点P作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
10.我们定义一种新函数:形如 y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),下列结论错误的是( )
A.图象具有对称性,对称轴是直线x=1
B.当-13时,函数值y随x值的增大而增大
C.当x=-1或x=3时,函数最小值是0
D.当x=1时,函数的最大值是4
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,若AB=5,则△ABC的面积是　　.
12.有心理学家发现,学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x(分钟)之间满足关系y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y值越大,表示接受能力越强,在第　 　分钟时,学生接受能力最强.
13.如图所示,∠A=90°,☉O与∠A的一边相切于点P,与另一边相交于B,C两点,且AB=1,BC=2,则扇形BOC的面积为 　.
14.已知点(-4,y1),(-2,y2),(3,y3)为二次函数y=-x2-2x+m图象上的三个点,比较y1,y2,y3的大小关系为　 　.
15.如图所示,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A在B的正西方向,从观测站A测得船C在北偏东45°的方向,从观测站B测得船C在北偏西30°的方向,且船C离观测站B的距离为2 km(即BC=2 km),则A,B两个观测站之间的距离为　 　km(结果用根号表示).
16.如图所示,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AD,AE,AC,DF,DB,AC与BD相交于点M,AE与DF相交于点N,MN与AD交于点O,AB,DC的延长线相交于点G,已知AB=3.下列结论:①MN⊥AD;②MN=2;③△DAG 的内心及外心均是点M;④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合.其中正确的是　 　(填序号).
三、解答题(共86分)
17.(6分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=2∠B.
(1)求sin B+tan A-6tan B+sin A的值;
(2)如果AB=8,求△ABC的周长.
18.(7分)在一次课外活动中,某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示,测得斜坡BE的坡度i=1∶4,坡底AE的长为 8 m,在B处测得树CD顶部D的仰角为30°,在E处测得树CD顶部D的仰角为60°,求树高CD(结果保留根号).
19.(8分)已知二次函数y=x2-4x+3a+2(a为常数).
(1)请写出该二次函数的三条性质;
(2)在同一平面直角坐标系中,若该二次函数的图象在 x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,求a的取值范围.
20.(8分)为进一步加强流感防控工作,避免在测温过程中出现人员聚集现象,某学校决定安装红外线体温检测仪,该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温,其示意图如图所示,其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆CP上下调节,已知探测最大角(∠OBC)为58.0°,探测最小角(∠OAC)为26.6°.
(1)若该设备的安装高度OC为1.6 m时,求测温区域的宽度AB;
(2)该校要求测温区域的宽度AB为2.53 m,请你帮助学校确定该设备的安装高度OC(结果精确到0.01 m,参考数据:sin 58.0°≈0.85,
cos 58.0°≈0.53,tan 58.0°≈1.60,sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50).
21.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=4,AB=12,求阴影部分的面积(结果保留π).
22.(11分)如图所示,抛物线y=ax2+bx-3与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,且经过点(-2,5),抛物线的对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P是抛物线上位于第四象限上的点,当△ABP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)已知M(-6,3),N(0,3),线段MN以每秒 1个单位长度的速度向右平移,同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向上平移,t s后,若抛物线与线段MN有两个交点,求t的取值范围.
23.(11分)某商场把一批糖果分装成小袋出售,小袋糖果成本为3元/袋,试销发现:每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支出其他费用80元.
销售单价x/元 3.5 5.5
销售量y/袋 280 120
(1)y与x之间的函数关系式为　　　　　　　　　.
(2)如果每天销售获得160元的利润,销售单价为多少元
(3)设每天所获利润为W元,当销售单价定为多少元时,每天获得的利润最大 最大利润是多少元
24.(12分)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图所示,两个固定长度的“连杆”AP,BP的连接点P在☉O上,当点P在☉O上转动时,带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动,OM⊥ON.当AP与☉O相切时,点B恰好落在☉O上.
(1)求证:∠PAO=2∠PBO;
(2)若☉O的半径为5,AP=,求BP的长.
25.(14分)如图所示,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x-5经过点B,C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P,连接AC,AP,判定△ACP的形状,并说明理由.
(3)在直线BC上是否存在点M,使AM与直线BC相交所产生的锐角等于∠ACB的2倍 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.(A)2.(D)3.(B)4.为(C)5.(D)6.(C)7.(A)8.(B)9.(D)10.(D)
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.　6　.12.　13　13.　π　.14.　y316.　①②③　(填序号).
三、解答题(共86分)
17.解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=2∠B,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=60°,∠B=30°.
∴sin B+tan A-6tan B+sin A
=sin 30°+tan 60°-6tan 30°+sin 60°
=+-6×+×
=2-.
(2)在Rt△ABC中,AB=8,
∴AC=AB·sin B=8sin 30°=8×=4,
BC=AB·cos B=8cos 30°=8×=4.
∴△ABC的周长为
AB+BC+AC=8+4+4=12+4.
18.解:如图所示,过点B作BF⊥CD于点F,
由题意,知四边形ABFC是矩形,
∴CF=AB.
∵斜坡BE的坡度i=1∶4,坡底AE=8 m,
∴CF=AB=2 m.
设DF=x m,
在Rt△DBF中,tan∠DBF=,
则BF==x(m),
在Rt△DCE中,
DC=x+CF=2+x,tan∠DEC=,
∴EC=(x+2)m.
∵BF-CE=AE,即x-(x+2)=8,
解得x=4+1,
则CD=4+1+2=(4+3)m.
即树高CD为(4+3)m.
19.解:(1)∵二次函数y=x2-4x+3a+2=(x-2)2+3a-2,
∴该二次函数的开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,3a-2).
性质:①开口向上;②有最小值3a-2;③对称轴为直线x=2.(答案不
唯一)
(2)∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,
由x2-4x+3a+2=2x-1,得x2-6x+3a+3=0,
∴Δ=36-4(3a+3)>0,
解得a<2.
把x=4代入y=2x-1,得y=2×4-1=7.
把(4,7)代入y=x2-4x+3a+2,得
7=16-16+3a+2,解得a=.
∴a的取值范围为≤a<2.
20.解:(1)根据题意,知OC⊥AC,∠OBC=58.0°,∠OAC=26.6°,OC=1.6 m,在Rt△OBC中,BC==≈=1.00(m).
在Rt△OAC中,AC==≈=3.20(m).
∴AB=AC-BC=3.20-1.00=2.20(m).
答:测温区域的宽度AB约为2.20 m.
(2)根据题意,知AC=AB+BC=2.53+BC,
在Rt△OBC中,BC=≈,
∴OC=1.60BC.
在Rt△OAC中,OC=AC·tan∠OAC≈(2.53+BC)×0.50,
∴1.60BC=(2.53+BC)×0.50,
解得BC=1.15.
∴OC=1.60BC=1.84(m).
答:该设备的安装高度OC约为1.84 m.
21.解:(1)直线BC与☉O相切.理由如下:
如图所示,连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠CAD.
∴∠CAD=∠ODA.
∴AC∥OD.
∴∠ODB=∠C=90°,即BC⊥OD.
又∵OD为☉O的半径,
∴直线BC是☉O的切线.
(2)设OA=OD=r,则OB=12-r.
在Rt△ODB中,由勾股定理,得OD2+BD2=OB2.
∴r2+(4)2=(12-r)2,解得r=4.
∴OD=4,OB=8.
∴sin B==.
∴∠B=30°.
∴∠DOB=180°-∠B-∠ODB=60°.
∴阴影部分的面积为S△ODB-S扇形DOF
=×4×4-
=8-.
22.解:(1)根据题意,得解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
(2)如图所示,连接AB,AP,BP,过点P作 PQ⊥x轴交AB于点Q,
∵抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3,
当y=0时,x2-2x-3=0,
解得x1=3,x2=-1.
∴点A的坐标为(3,0).
当x=0时,y=-3,
∴点B的坐标为(0,-3).
∴OA=3,OB=3.
∴AB==3.
设直线AB的函数表达式为y=kx+h,
把(3,0),(0,-3)代入,得解得
∴直线AB的函数表达式为y=x-3.
设点P的坐标为(m,m2-2m-3),则点Q的坐标为(m,m-3),
∴PQ=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m.
∴S△ABP=PQ·|xA-xB|
=-(m2-3m)
=-(m-)2+.
当m=时,△ABP的面积最大,
此时m2-2m-3=()2-2×-3=-.
∴点P的坐标为(,-).
(3)t s后,M(-6,3),N(0,3)的对应点的坐标分别为 M′(t-6,3),
N′(t,3),
抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3+t,
若抛物线与线段M′N′有两个交点,则点N′在抛物线上(或右侧),且点M′在抛物线上(或左侧),
当点N′恰好在抛物线上时,则3=t2-2t-3+t,
∴t2-t-6=0.
解得t1=3,t2=-2(舍去),
当点M′恰好在抛物线上时,则3=(t-6)2-2(t-6)-3+t,
解得t3=6,t4=7(舍去).
∴t的取值范围为3≤t≤6.
23.解:(1)y=-80x+560
(2)由题意,得(x-3)(-80x+560)-80=160,
整理,得x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6,
∵3.5≤x≤5.5,
∴x=4.
∴如果每天销售获得160元的利润,那么销售单价为4元.
(3)由题意,得W=(x-3)(-80x+560)-80
=-80x2+800x-1 760
=-80(x-5)2+240,
∵3.5≤x≤5.5,
∴当x=5时,W有最大值为240.
∴当销售单价定为5元时,每天获得的利润最大,最大利润是240元.
24.(1)证明:如图所示,连接OP,延长BO与☉O交于点C,则OP=OB=OC,
∵AP与☉O相切于点P,
∴∠APO=90°.
∴∠PAO+∠AOP=90°.
∵MO⊥CN,
∴∠AOP+∠POC=90°.
∴∠PAO=∠POC.
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠PBO.
∴∠POC=∠OPB+∠PBO=2∠PBO.
∴∠PAO=2∠PBO.
(2)解:如图所示,连接PC,过点P作PD⊥OC于点D,
则AO==.
由(1),知∠POC=∠PAO,
∴Rt△POD∽Rt△OAP.
∴==,即==.
解得PD=3,OD=4.
∴CD=OC-OD=1.
在Rt△PDC中,PC==.
∵CB为☉O的直径,
∴∠BPC=90°.
∴BP===3.
故BP的长为3.
25.解:(1)由y=x-5,得点B的坐标为(5,0),点C的坐标为(0,-5),
把(5,0),(0,-5)代入抛物线y=ax2+6x+c,得解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+6x-5.
(2)△ACP为直角三角形.理由如下:
由抛物线y=-x2+6x-5,得对称轴为x=3.
当x=3时,y=x-5=-2,
∴点P的坐标为(3,-2).
当y=0时,-x2+6x-5=0,解得x1=1,x2=5,
∴点A的坐标为(1,0).
则AC2=(1-0)2+(0+5)2=26;
AP2=(1-3)2+(0+2)2=8;CP2=(0-3)2+(-5+2)2=18.
∴AP2+CP2=AC2.
∴△ACP为直角三角形.
(3)存在点M,使AM与直线BC相交所产生的锐角等于∠ACB的2倍.
分两种情况:
①当点M在PA左边时,如图所示,
∵∠AM1B=2∠ACB,
∠AM1B=∠ACM1+∠CAM1,
∴∠ACM1=∠CAM1.
∴AM1=CM1.
∵点M1在直线y=x-5上,
设点M1的坐标为(m,m-5),
则A=(1-m)2+(0-m+5)2=2m2-12m+26,
C=(0-m)2+(-5-m+5)2=2m2,
∴2m2-12m+26=2m2,
解得m=.
∴点M的坐标为(,-).
②当点M在PA右边时,如图所示,
此时∠AM2C=∠AM1B,
∴AM1=AM2.
∵AP⊥BC,
∴点P是M1M2的中点.即M1,M2关于点P对称.
∵M1(,-),P(3,-2),
∴点M2的坐标为(,-).
综上,点M的坐标为(,-)或(,-).

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