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晋元高级中学2024学年第二学期期末考试
高一年级数学学科试卷 日期：2025.6
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1.函数的最小正周期是，则 ．
【答案】2
2.若，则 .
【答案】
3.在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为 .
【答案】
4.如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.
【答案】3
5.已知实数、使得，则　　　　　　　．
【答案】4
6.若，且，则的值为 ．
【答案】
7.若复数满足，则　　　　　．
【答案】或
8.如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________.
【答案】
9.已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为　　 　．
【答案】
10.在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为　　　　．
【答案】
11.如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到）
第11题图
【答案】
12.设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是 .
【答案】
选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13.下列函数中，与函数的图像形状相同的是………………（ ）
【答案】
14.下列命题中，真命题为 ………………（ ）
.若点为角的终边上一点，则；
.同时满足，的角有且只有一个；
.如果角满足，那么角是第二象限的角；
.的解集为.
【答案】
15.下列4个命题正确的个数为 ………………（ ）
①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；
②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线；
④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则.
. 1 . 2 . 3 . 4
【答案】
16．如图，边长为1的正方体，则下列四个命题：
①点在线段上运动时，直线与直线所成角的大小不变
②点在线段上运动时，直线与平面所成角的大小不变
③点在线段上运动时，二面角的大小不变
④点在线段上运动时，点到平面的距离最大值为1
其中的真命题是 ………………（ ）
.①③ .③④ .①②④ . ①③④
【答案】
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知，复数是实系数一元二次方程的一个根.
（1）求和的值；
（2）若，，为纯虚数，求的值.
【解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此，
所以.
（2）依题意，，
由为纯虚数，得，解得
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在中，角，，的对边分别为，，．
(1) 若，求的大小；
(2) 若，，，求的面积．
【解】（1）由正弦定理可得，，或
（2）解法1：由正弦定理可得，，或
当时，，故，
当时，，故.
解法2：由余弦定理可得：，即，或.
当时，，，
当时， .
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.
（1）求证：平面；
（2）若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证:.
【解】（1）平面，且平面
又,，平面，故平面.
（2）且平面，不在平面上,平面，
又平面平面， ，.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图所示，在△中，，，，，.
（1）用、表示；
（2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（3）若是△内一点，且满足（），求的最小值.
【解】（1），
（2）设，
，
，
，，
解得，
∴存在点，使得
（3），
∴，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设，函数满足．
（1）当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数；
（2）若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围.
（3）当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围．
【详解】
（1），则，
当时，在上有两个最大值点，，
故在上有2个最大值点；
（2）曲线与直线在上有且仅有1个交点，
即方程在上有且仅有1个根，
由，可知，
又因为，即，
所以，
故，
则只需令，
解得，
即的取值范围为．
，棋子移动的周期为4，
因为，，
由正弦函数的单调性得，
若，中至少三个大于或等于，满足题意，即：
，则;
若，中只有二个大于或等于，棋子落在棋盘右上角亦满足题意，即：，则；
故的取值范围是.晋元高级中学2024学年第二学期期末考试
高一年级数学学科试卷 日期：2025.6
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1.函数的最小正周期是，则 ．
2.若，则 .
3.在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为 .
4.如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.
5.已知实数、使得，则　　　　　　　．
6.若，且，则的值为 ．
7.若复数满足，则　　　　　．
8.如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________.
9.已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为　　 　．
10.在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为　　　　．
11.如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到）
第11题图
12.设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是 .
选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13.下列函数中，与函数的图像形状相同的是………………（ ）
14.下列命题中，真命题为 ………………（ ）
.若点为角的终边上一点，则；
.同时满足，的角有且只有一个；
.如果角满足，那么角是第二象限的角；
.的解集为.
下列4个命题正确的个数为 ………………（ ）
①若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；
②若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
③已知平面平面，平面上的任意一条直线都垂直于平面上的无数条直线；
④已知平面平面，过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则.
. 1 . 2 . 3 . 4
16．如图，边长为1的正方体，则下列四个命题：
①点在线段上运动时，直线与直线所成角的大小不变
②点在线段上运动时，直线与平面所成角的大小不变
③点在线段上运动时，二面角的大小不变
④点在线段上运动时，点到平面的距离最大值为1
其中的真命题是 ………………（ ）
.①③ .③④ .①②④ . ①③④
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知，复数是实系数一元二次方程的一个根.
（1）求和的值；
（2）若，，为纯虚数，求的值.
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在中，角，，的对边分别为，，．
(1) 若，求的大小；
(2) 若，，，求的面积．
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.
（1）求证：平面；
（2）若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证:.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图所示，在△中，，，，，.
（1）用、表示；
（2）若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（3）若是△内一点，且满足（），求的最小值.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设，函数满足．
（1）当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数；
（2）若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围.
（3）当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围．

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