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6.3《角》小节复习题
题型01 角的数量规律
1.如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（　　）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
2.如图所示，∠AOB＝90°，则图中锐角有（　　）
A．12个 B．14个 C．15个 D．16个
3.如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（　　）
A．n（n+1） B．
C． D．
4.如图，在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有（　　）个角．
A．465 B．450 C．425 D．300
题型02 角的换算
1.若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（　　）
A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′
2.0.25°等于（　　）
A．90′ B．60′ C．15′ D．360′
3.20°13' 12″化为用度表示是（　　）
A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22°
4.下列运算正确的是（　　）
A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°
题型03 角的大小比较
1.若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（　　）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
2.如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（　　）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定
3.若∠A＝30.25°，∠B＝30°28″，∠C＝30°18'，则有（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
4.如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
题型04 角的计算
1.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于（　　）
A．50° B．75° C．100° D．120°
2.如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠AOC．则∠AOE＝（　　）
A．60° B．61° C．66° D．56°
3.如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
4.如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．
（1）如图1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数；
（2）如图2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
5.如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
6.【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．
【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．
（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠　 　；∠BOC的余角有 　 　个（本身除外），分别是 　 　．
【实践探究】
（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：
①求∠DOE的度数．
②∠BOC的补角分别是：　 　．
7．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　°；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
题型05 余角与补角
1.如果一个角的余角是55°，那么这个角的补角的度数是（　　）
A．145° B．125° C．90° D．35°
2.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（　　）
A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90°
C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3
3.已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（　　）
A．61°40' B．60°80' C．60°40' D．29°20'
4.若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5.已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（　　）
A．180° B．90° C．45° D．无法确定
参考答案
题型01 角的数量规律
1.解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有 ＝6个．
故选：C．
2.解：以OA为始边的锐角有4个，以OF为始边的锐角有4个，以OE为始边的锐角有3个，以OD为始边的锐角有2个，以OC为始边的锐角有1个，
则图中锐角有：4+4+3+2+1＝14（个），
故选：B．
3.解：图①：有3条射线，组成1+2个角；
图②：有4条射线，组成1+2+3个角；
∴当有a条射线，组成个角；
∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，
∴组成个角．
故选：B．
4.解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；
从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝（29+2）（29+1）＝465个角；
故选：A．
题型02 角的换算
1.解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．
故选：C．
2.解：0.25°＝（0.25×60）′＝15′，
故选：C．
3.解：20°13'12″＝20.22°．
故选：D．
4.解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
题型03 角的大小比较
1.解：∵1°＝60′；
∴0.25°＝60′×0.25＝15′；
∴∠C＝32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：A．
2.解：∵∠AOB＞∠COD，
∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，
即∠AOD＞∠BOC，
故选：C．
3.解：∵∠A＝30.25°＝30°15'，
∴∠C＞∠A＞∠B，
故选：A．
4.解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故选：C．
题型04 角的计算
1.解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD＝25°，
∴∠AOD＝∠COD＝25°，∠AOB＝2∠AOC，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2（∠AOD+∠COD）＝2×（25°+25°）＝100°，
故选：C．
2.解：∵∠COD＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣58°＝122°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝×122°＝61°．
故选：B．
3.解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；
（2）∵∠AOD＝∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
4.解：（1）∵∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝18°+55°＝73°；
（2）∠BOM：∠BON＝4：3．理由如下，
∵∠CON＝2∠AOM，
∴设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，
设∠BOM＝x，
∵OB平分∠AOC，
∴α+x＝∠BON+2α，
∴∠BON＝x﹣α，
∵∠BOM：∠AOC＝2：5，
∴x：（α+x+x﹣α+2α）＝2：5，
∴x＝4α，则∠BON＝3α，
∴∠BOM：∠BON＝4：3．
5.解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝40°，
∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．
6.解：（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∴OB平分∠COD；
∵∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOC的余角有2个，分别是：∠AOC和∠BOD；
故答案为：COD，2，∠AOC和∠BOD．
（2）①∵∠BOC＝45°，∠BOC＝3∠BOE，
∴∠BOE＝∠BOC＝×45°＝15°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝45°﹣15°＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+30°＝120°，
②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°，
∴∠AOC+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOC；
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+90°＝135°，
∴∠BOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠BOD；
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°，
∴∠AOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOD；
综上所述：∠BOC的补角是∠AOC、∠BOD、∠AOD．
故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD．
7.解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，＝，＝，＝，＝，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°
题型05 余角与补角
1.解：∵一个角的余角是55°，则这个角为35°，
∴这个角的补角的度数是180°﹣35°＝145°．
故选：A．
2.解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴∠1＝∠3．
故选：D．
3.解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，
故选：C．
4.解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
5.解：∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，
∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
故选：B．

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