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2025年全国高中数学联赛江西省预赛试题
(6月22日上午9：30一12：00)
一、填空题（每小题7分，共56分）
1.若圆C1:x2+y2-2x-2y=6与圆C2:x2+y2-4x-4y=k有唯一交点，则k=
2.设复数z满足(1+2i)z=3-4川，则(1+Z)3的值为
3.半径为的大球内部装四个半径相等的小球，则小球的最大半径为
4.函数f(x)=c0s(ωx+羽（ω>0），x=牙是函数的一个零点，x=-平是函数图像的一条对
称轴，（臣）是f(x)的一个单调区间，则ω的最大值为
5.随机地掷出三枚质地均匀点数分别为1,2，…，6的正方体色子，所得点数之和为素数的概率
为
6.正实数a,b,c满足a+b+c=1,且方程ax2+bx+c=0有实根，则abc的最大值
为
7.曲线y=和y=一x2+7相交于点A,B,C,△ABC的外心和垂心为P和Q,则PQ=
8。对于正整数m,0n表示与沉最接近的整数（例如a20=3)，则2六=
二、解答题（共64分）
9.(14分)已知实数a>0,b>0,且满足a+3b=6.求3bab+1的最大值.
10.(15分)⊙01与⊙02交于A,B两点，过点B的直线分别交⊙01，⊙02于点C,D,E为线段
AB上异于A,B的点，点F满足FO1⊥ED,FO2⊥EC.证明：BF⊥CD、
11.(15分)已知n为正整数，正实数a,b,c满足a+b+c=3.求证：
an+4n
bn+4n
cn+4n、3(4n+1)
(a+D)(a+c+(b+0(b+a+(c+a(c+b)
4
12.(20分)求所有满足F(n2)=√n的正整数n的和，其中F(n)表示正整数n的正因数的个数.
2025年全国高中数学联赛江西省预赛
试题参考答案
(6月22日上午9：30--12：00)
一、填空题（每小题7分，共56分）
1.若圆C:x2+y2-2x-2y=6与圆C2:x2+y2-4x-4y=k有唯一交点，则
k=
答案：-6或10.
解：由题圆C:(x-1)2+(y-1)2=(2V2)2,圆C2:(x-2)2+(y-2)2=k+8,题设等
价于圆C,的半径分别为V2或32，所以k+8=2或18，所以k=-6或10.
2.设复数z满足(1+2)z3-4i,则(1+z)3的值为
答案：-16+16i.
1+2=1-21,所以0+2=2+2°=8i-(2+2)=-16+161.
解：由题z=,5
3.半径为√6的大球内部装四个半径相等的小球，则小球的最大半径
为
答案：6-26.
解：由题知小球半径最大时四个小球的球心
构成一个正三棱锥A-BCD且小球内切于大球，
大球球心为正三棱锥A-BCD的中心.如图1，为
便于计算边长比，先设正三棱锥的棱长为6，容易
36
计算得OA=3V6
2
故大球与小球半径比为
3v
6
+36+2，故小球的最大半径为
2
G。
3
23
2
2w6
V6+2
6-26
图1
4.函数f()=cos(or+T(0>0),x=T是函数的一个零点，x=-T是函数
4
4
图像的一条对称轴，（匹，乃）是f(x)的一个单调区间，则o的最大值为
12'91
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