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分课时教学设计
第六课时《13.3.2 三角形的外角》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的主要内容是三角形的外角及外角的性质，是在学习三角形内角和定理的基础上展开的延伸内容。三角形外角的概念及性质是对三角形内角关系的重要补充，是后续学习多边形外角和、相似三角形等知识的基础，在几何知识体系中起到承上启下的作用。
学习者分析 学生已掌握三角形内角和定理，能熟练运用内角和进行简单计算，具备初步的几何推理能力。而八年级学生正处于从直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对图形的观察和归纳能力较强，但对定理的严格证明仍需引导。
教学目标 1．理解三角形外角的概念．探索并证明三角形外角的性质． 2．理解三角形外角和的概念，探索并证明三角形的外角和等于360°．
教学重点 理解并掌握三角形外角的性质．
教学难点 探索并证明三角形的外角和等于360°．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解三角形外角的概念．探索并证明三角形外角的性质． 2．理解三角形外角和的概念，探索并证明三角形的外角和等于360°．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．三角形内角和定理：________________. 2．直角三角形的性质：_____________________. 3．直角三角形的性质：_____________________. 答案：1．三角形的内角和等于180° 2．三角形的内角和等于180° 3．有两个角互余的三角形是直角三角形学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾三角形内角和定理及推论，为探究三角形的外角及性质做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 操作：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD． 动画演示： 归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 说一说：三角形的外角有什么特征？ 预设：（1）顶点在三角形的一个顶点上； （2）一条边是三角形的一条边； （3）另一条边是三角形的某条边的延长线． 试一试：画出△ABC的所有外角. 这些外角与相邻内角又有什么样的关系呢？ 预设： 每个顶点处都有2个外角；每个三角形都有6个外角. 位置关系：互为邻补角 数量关系：互补 思考1：在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°， ∠ACD是△ABC的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系？ 解：能由∠A，∠B求出∠ACD. 过程如下： 在△ABC 中， ∠ACB=180°∠A∠B =180°70°60° =50° ∴∠ACD =180°50° =130° 即：∠ACD =∠A +∠B 思考2：观察动画，任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想. 已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B． 证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B． ∵∠ACB＋∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB ＝180°－(180°－∠A－∠B) ＝∠A＋∠B． 归纳：一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 符号语言： ∵∠ACD 的△ABC 外角 ∴∠ACD =∠A +∠B 指出：推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． 例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE＝∠2＋∠3， ∠CBF＝∠1＋∠3， ∠ACD＝∠1＋∠2． ∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)． 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°． 追问：你还能给出其他解法吗？ 指出：三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和． 归纳：三角形的外角和等于 360°． 例2：如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2 的度数． 解：由三角形外角的性质，可知 ∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE， ∴∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE ＝180°＋∠AED＋∠ADE． ∵∠AED＋∠ADE＝90°， ∴∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°． 归纳：三角形外角性质的三个应用 （1）求角的度数：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数； （2）证明角相等：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等； （3）判断角的大小：外角大于与它不相邻的任意一个内角．学生活动3： 学生动手操作，小组合作探究三角形的概念和性质，并班内汇报交流，然后听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过辨析外角的概念，引导学生发现外角的个数及关系，并在此基础上探究三角形外角的性质，在证明的过程中培养学生逻辑思维能力，规划证明步骤，提高应用能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：13.3.2 三角形的外角 一、三角形的外角 二、三角形外角的性质 三、三角形外角和教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，下列各角是△ABC的外角的是( ) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 答案：C 2．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( ) A．110° B．80° C．70° D．60° 答案：C 3．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数． 解：∵∠A＝180°－∠B－∠ACB ＝180°－67°－74°＝39°， ∴∠BDF＝∠A＋∠AED ＝39°＋48°＝87° 选做题： 4．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，AB//CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为______度． 答案：12
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 答案B 2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为_______． 答案：20° 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E.若∠AFD＝150°，求∠EDF的度数． 解：∵∠AFD＝∠FDC＋∠C＝90°＋∠C， ∴∠C＝∠AFD－90°＝60°， ∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC， ∠EDC＝∠B＋∠BED， ∴90°＋∠EDF＝90°＋∠B， ∴∠EDF＝∠B，又∠B＝∠C， ∴∠EDF＝∠C＝60° 选做题： 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB= ． 答案：10° 【综合拓展类作业】 5．如图，∠BAC=46°，∠B=27°，∠C=30°，则∠BDC= . 答案：103°
教学反思 在课堂教学中，关注概念教学的有效性，学生在快速区分外角与内角遇到困难时借助生活实例辅助理解；在推导外角性质时，注重引导学生主动联想内角和定理。从练习反馈来看，学生可能因忽略外角定义或将内角误当外角，以及应用性质时错看“不相邻”内角而出现计算错误，对此可增加错题辨析环节，强化“位置关系决定数量关系”的意识。教学方法上，引入小组合作探究，让学生通过测量、剪拼三角形纸片发现外角性质，同时在推导外角和定理时，除教材解法外，引导学生从外角与相邻内角互补的角度拓展思路，以培养思维灵活性。
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第十三章 三角形
13.3.2 三角形的外角
1．理解三角形外角的概念．探索并证明三角形外角的性质．
2．理解三角形外角和的概念，探索并证明三角形的外角和等于360°．
1．三角形内角和定理：_________________________.
2．直角三角形的性质：_________________________.
3．直角三角形的性质：__________________________________.
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
操作：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD．
　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
说一说：三角形的外角有什么特征？
　 （1）顶点在三角形的一个顶点上；
　 （2）一条边是三角形的一条边；
　 （3）另一条边是三角形的某条边的延长线．
　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
试一试：画出△ABC的所有外角. 这些外角与相邻内角又有什么样的关系呢？
每个顶点处都有2个外角；
每个三角形都有6个外角.
位置关系：互为邻补角
数量关系：互补
思考1：在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°， ∠ACD是△ABC的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能， ∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系？
70°
60°
50°
130°
解：能由∠A，∠B求出∠ACD. 过程如下：
在△ABC 中，
∠ACB=180°∠A∠B
=180°70°60°
=50°
∴∠ACD =180°50° =130°
∠ACD =∠A +∠B
思考2：观察动画，任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想.
已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B．
∵∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°－∠ACB
＝180°－(180°－∠A－∠B)
＝∠A＋∠B．
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
　　推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．
符号语言：
∵∠ACD 的△ABC 外角
∴∠ACD =∠A +∠B
例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE＝∠2＋∠3，
∠CBF＝∠1＋∠3，
∠ACD＝∠1＋∠2．
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．
你还能给出其他
解法吗？
　　三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和．
三角形的外角和等于 360°．
例2：如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2 的度数．
A
D
E
C
B
2
1
解：由三角形外角的性质，可知
∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE
＝180°＋∠AED＋∠ADE．
∵∠AED＋∠ADE＝90°，
∴∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°．
三角形外角性质的三个应用
　 （1）求角的度数：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数；
　 （2）证明角相等：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等；
　（3）判断角的大小：外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，下列各角是△ABC的外角的是( )
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )
A．110° B．80° C．70° D．60°
C
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
解：∵∠A＝180°－∠B－∠ACB
＝180°－67°－74°＝39°，
∴∠BDF＝∠A＋∠AED
＝39°＋48°＝87°
【知识技能类练习】选做题：
4．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
B
【综合拓展类练习】
5．如图，AB//CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为______度．
F
12
与三角形有关的角
三角形的外角
三角形的外角和
概念
性质
概念
性质
【知识技能类作业】必做题：
1．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．都有可能
B
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为_______．
20°
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E.若∠AFD＝150°，求∠EDF的度数．
解：∵∠AFD＝∠FDC＋∠C＝90°＋∠C，
∴∠C＝∠AFD－90°＝60°，
∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC，
∠EDC＝∠B＋∠BED，
∴90°＋∠EDF＝90°＋∠B，
∴∠EDF＝∠B，又∠B＝∠C，
∴∠EDF＝∠C＝60°
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB= ．
10°
【综合拓展类作业】
5．如图，∠BAC=46°，∠B=27°，∠C=30°，则∠BDC= .
103°中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 13.3.2 三角形的外角 单元 第十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解三角形外角的概念．探索并证明三角形外角的性质． 2．理解三角形外角和的概念，探索并证明三角形的外角和等于360°．
重点 理解并掌握三角形外角的性质．
难点 探索并证明三角形的外角和等于360°．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．三角形内角和定理：________________________________________. 2．直角三角形的性质：________________________________________. 3．直角三角形的性质：________________________________________.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助三角形内角和定理，研究三角形的外角。 操作：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD． 归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的________． 三角形的外角的特征： （1）顶点在三角形的一个______上； （2）一条边是三角形的一条_____； （3）另一条边是三角形的某条边的______线． 试一试：画出△ABC的所有外角. 这些外角与相邻内角又有什么样的关系呢？ 每个顶点处都有____个外角；每个三角形都有____个外角. 位置关系：__________; 数量关系：__________ 思考1：在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°，∠ACD是△ABC的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系？ 思考2：观察动画，任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想. 已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B． 归纳：一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的______． 符号语言： ∵∠ACD 的△ABC 外角 ∴∠ACD =∠____ +∠____ 注意：推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． 例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 想一想：你还能给出其他解法吗？ 归纳：三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和．三角形的外角和等于_______． 例2：如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2 的度数． 归纳：三角形外角性质的三个应用 （1）求角的______：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数； （2）证明角_______：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等； （3）判断角的______：外角大于与它不相邻的任意一个内角．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，下列各角是△ABC的外角的是( ) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 2．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( ) A．110° B．80° C．70° D．60° 3．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数． 选做题： 4．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【综合拓展类练习】 5．如图，AB//CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为______度．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 1．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 2.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为_______． 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E.若∠AFD＝150°，求∠EDF的度数． 选做题： 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB= ． 【综合拓展类作业】 5．如图，∠BAC=46°，∠B=27°，∠C=30°，则∠BDC= .
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