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15.2《一元一次不等式》小节复习题
【题一 不等式的定义】
1.下列数学表达式，是不等式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（ ）
A．＜0 B． C．≥1 D．
3.下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是： ；（填序号）
4.用适当的不等式表示下列不等关系：
（1）x的与x的2倍的和是非负数；
（2）一枚炮弹的杀伤力半径不小于300米；
（3）三件上衣和四条裤子的总价钱不高于368元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的体重不比小亮的轻；
【题二 不等式的性质】
1.若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2.某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．
3.若，则x的取值范围是 ．
4.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是_____；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，_____；
(3)探究：的最小值为_____；
(4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____．
【题三 不等式的解集】
1.下列说法中正确的是（　　）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解
2.下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
3.以下说法正确的是： .
①由，得；②由，得
③由，得；④由，得
⑤和互为相反数；⑥是不等式的解
4.下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）：
维生素的含量
维生素的含量
成本 6 5 4
现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？
【题四 一元一次不等式的定义】
1.若关于的一元一次不等式，则的值（　　）
A． B．1或 C．或 D．
2.下列不等式中，一元一次不等式有 （ ）
① ② ③
④ ⑤
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3.已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 .
4.解方程组或不等式
（1）
（2）解不等式，并在数轴上表示解集
【题五 列一元一次不等式】
1.一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
2.为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　）
A． B．
C． D．
3.小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）．
4.为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示：
甲型 乙型
价格（单位：元/台） 450 600
有效监控半径（单位：米/台） 100 150
(1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式；
(2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式．
【题六 求一元一次不等式的解集】
1.是下列哪个不等式的一个解（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，这是关于x的不等式的解集，则a的值是（ ）
A．0 B． C． D．
3.已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ．
4.下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
去分母，得． 第一步
去括号，得． 第二步
移项，得． 第三步
合并同类项，得． 第四步
系数化为1，得． 第五步
任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________；
任务二：该不等式的解集为________；
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【题七 求一元一次不等式的整数解】
1.定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　）
A． B．1 C．0和1 D．2
2.已知关于x的不等式只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若代数式的值不小于的值，则满足条件的x的最小整数值为 ．
4.【探究归纳】
解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”．
【问题解决】
(1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值．
【题八 在数轴上表示不等式的解集】
1.若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是 ．（写出一个符合要求的不等式即可）
4.下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得……第四步
两边都除以5，得……第五步
(1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ．
(2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上．
【题九 求一元一次不等式解的最值】
1.已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
3.（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ．
（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ．
4.某城市的一个区域原来每天需要处理生活垃圾吨,刚好被个型和个型预处置点位进行初筛 压缩等处理．已知一个型点位比一个型点位每天多处理吨生活垃圾．
（1）求一个型点位每天处理生活垃圾的吨数;
（2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行,垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理吨生活垃圾．若该区域计划增设型 型点位共个,试问至少需要增设几个型点位才能当日处理完所有生活垃圾
【题十 一元一次不等式解的新定义运算】
1.如果，，那么下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：，那么不等式的解集为 ．
4.新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，．
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最大值．
参考答案
【题一 不等式的定义】
1.C
【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式．
根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论．
【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中，
不等式有②；③；⑤；⑥，共4个；
是等式；
④是代数式．
故选：C．
2.B
【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可．
【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意；
B. 是等式，故此选项符合题意；
C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意；
D.是不等式，故此选项不符合题意；
故选：B．
3.①②⑤
【分析】依据不等式的定义-----用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可．
【详解】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②⑤为不等式，共有3个．
故答案为①②⑤
4.（1）x+2x≥0；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤368；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；
（5）设小明的体重为a千克，小亮的体重为b千克，则应有a≥b．
【题二 不等式的性质】
1.B
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意；
B、由可得，则，则此项错误，符合题意；
C、由可得，则此项正确，不符合题意；
D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意；
故选：B．
2.A
【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系．
首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系．
【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元，
∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，
∴ ，
解得：，
故选：A．
3.
【分析】本题考查了不等式的性质．由，推出，由，得到，由此求得，进一步计算说明当，也成立，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，即，
∴时，成立，
即时，．
综上，时，．
故答案为：．
4.（1）解：数轴上表示数的点与数的点之间的距离的式子是，
式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离，
故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离；
（2）解：等式的几何意义是表示是到数的距离为的点，
则的值为或，
故答案为：或；
（3）解：式子表示数到和的距离之和，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
故式子的最小值为，此时满足的条件是，
故答案为：；
（4）解：，
根据问题（3）可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括、）的任意一个数，
要使的值最小，应取，
显然当时能同时满足要求，
故的最小值为，此时满足的条件是，
故答案为：，．
【题三 不等式的解集】
1.A
【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解得定义去判定即可．
【详解】，
，
A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意；
B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意；
C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意；
D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意；
故选：A．
2.C
【分析】由得或进而即可求解；
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴（1）（4）符合题意．
故选：C．
3.②③④
【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．
【详解】解：①由，当时，得，故结论①错误；
②由，得，故结论②正确；
③由，得；故结论③正确；
④由，得；故结论④正确；
⑤和互为相反数，当为奇数时，，故结论⑤错误；
⑥是不等式的解，故结论⑥错误；
故正确的结论为：②③④．
4.解：依题意有，
即
得：，
得：，解得：，
成本为：，
当时，成本最小为元．
【题四 一元一次不等式的定义】
1.C
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，
或．
故选：C．
2.B
【详解】分析：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
详解：①不是，因为最高次数是2；
②不是，因为是分式；
③不是，因为有两个未知数；
④是；
⑤是.
综上，只有2个是一元一次不等式.
故选B．
3.
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式，
∴且，
解得：，
故答案为：．
4.（1）
①×2得4x-2y=-8③
③-②得3y=15
解得y=5
把y=5代入①得2x-5=-4
解得x=
∴原方程组的解为
（2）
x-6＞2x-4
-x＞2
x＜-2，
解集在数轴上表示如下：
【题五 列一元一次不等式】
1.D
【分析】根据题意可知，汽车45分钟行驶的路程大于，依此列出不等式即可．
【详解】解：设平均车速为，
45分钟 小时，
，
故选：D．
2.B
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分．
【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x-5（17-x）>90．
故选：B．
3.<
【分析】本题考查表示不等关系．注意数形结合．
设环形道的周长为x，因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈，
跑了2圈时还没有，即可求解．
【详解】解：设环形道的周长为x，
因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈，
跑了2圈时还没有，
所以，
即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数．
故答案为：<．
4.（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，
根据题意得：．
（2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，
根据题意得：．
【题六 求一元一次不等式的解集】
1.D
【分析】本题考查解一元一次不等式，将选项中的不等式解出，即可判断x=2为哪个不等式的解．熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：A．，解得：，故此选项不符合题意；
B．，解得：，故此选项不符合题意；
C．，解得：，故此选项不符合题意；
D．，解得：，故此选项符合题意．
故选：D．
2.D
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式解集、解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式和在数轴上表示不等式解集得出是解题的关键．先解一元一次不等式得，再根据数轴可得，从而可得，再解方程即可．
【详解】解：解不等式得，，
由数轴可得，，
∴，
解得，
故选：D．
3.
【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．先把变形得到，由得到，解得，所以的取值范围为，再用变形得到，然后利用一次函数的性质确定的范围．
【详解】解：，
，解得，
又，
，
当时，；
当时，，
，
故答案为：．
4.解：任务一：求解过程中，去分母的依据是不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数
任务二：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
系数化为1，得．
任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向．
【题七 求一元一次不等式的整数解】
1.B
【分析】根据题目所给新运算的运算法则，将化为代数式，再求解不等式即可．
【详解】解：根据题意可得：，
∵，
∴，
解得：，
符合条件是正整数解有：1．
故选：B．
2.B
【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．
【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴a＜0，
∴不等式的解集为x＜，
又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴2＜≤3，
解得-6＜a≤-3，
故选：B．
3.0
【分析】根据题意得出关于x的不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得x的范围，继而可得答案．
【详解】解：根据题意得，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
则满足条件得x的最小整数值为0．
故答案为：0．
4.（1）解：解不等式得，
解不等式得，
∴的解集是解集的“子集”，
故答案为：是；
（2）解：解不等式得，
解不等式得，
∵不等式的解集是的解集的“子集”，
∴，解得，
∵是正整数，
∴a的值为1或2或3．
【题八 在数轴上表示不等式的解集】
1.B
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，故A不符合题意；
∵，
∴，故B符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B
2.D
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式性质求出不等式解集，再将解集在数轴上表示出来即可，注意取得到该数时用实心的点表示，取不到该数时用空心圈表示．
【详解】解：，
，
；
不等式的解集在数轴上表示为：
故选：D．
3.x＜-4（答案不唯一）
【分析】“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【详解】解：由图示可看出，从-4出发向左画出的折线且表示-4的点是空心圆，表示x<-4；
故答案为：x<-4（答案不唯一）
4.（1）解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为，此步骤的依据是不等式的性质2，
故答案为：一；；不等式的性质2；
（2）
，
，
，
，
，
在数轴上表示为：
．
【题九 求一元一次不等式解的最值】
1.C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
2.A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
3.
【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．
（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．
【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3，
∴，
故答案为：.
（2）∵的解集中最小整数为-2，
∴，
故答案为：．
4.解:（1）设每个型点位每天处理生活垃圾吨,则每个型点位每天处理垃圾吨．
根据题意,得,
解得:．
答:每个型点位每天处理生活垃圾吨．
（2）设需要增设个型点位,则增设个型点位．
现在型点位每天处理（吨）,型点位每天处理（吨）
根据题意,得,
解得:．
答:至少需要增设个型点位．
【题十 一元一次不等式解的新定义运算】
1.D
【分析】本题主要考查了不等式的性质等知识点，根据不等式的基本性质逐一判定即可得解，熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键．
【详解】解：A、由得到：,选项结论成立，故本选项不符合题意；
由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意；
由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意；
由得到：，选项结论不成立，故本选项符合题意；
故选：D．
2.A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．根据定义的新运算列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意：
当时，解得：，
则，即
解得：，相矛盾，舍去；
当时，解得：，
则，即
解得：，
；
故选：A．
3.
【分析】根据可得中 5相当于a，x相当于b，代入新定义的运算法则中可得，由此解出不等式即可．
【详解】由题意得，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
4.（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：①当时，解得，
，
②当时，解得，
∴，
∴，
综上所述，的最大值为．

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