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17.1《三角形的有关概念》小节复习题
【题一 三角形的识别与有关概念】
1.如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）

A．是 ABC的高 B．是的高
C．是的高 D．是的高
2.如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3.图中以为边的三角形共有 个．
4.如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积．
【题二 三角形的分类】
1.如图，钝角三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（ ）．
A．只能是锐角三角形
B．只能是直角三角形
C．只能是钝角三角形
D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
3.一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形．
4.如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
【题三 构成三角形的条件】
1.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.下列说法，错误的有（ ）个
①一个书包打六折出售，就是便宜了；
②把一个正方形按缩小后，面积缩小到原来；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
④用三根长度分别为的小棒能拼成一个三角形．
A．2 B．3 C．4 D．1
3.小豫想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条（如图）：
小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满）
三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边
1 5
2 6
3 7
4 8
4.如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求：
(1)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？
(2)若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率．
【题四 确定第三边的取值范围】
1.圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（ ）
A． B．
C． D．
2.一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.已知三角形的三边长为，化简： ．
4.如图1，在 ABC中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：．
【提出问题】
小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围．
【解决问题】
（1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法：
如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围．
你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由．
【经验迁移】
（2）如图3， 在 ABC中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：．
【题五 画三角形的高】
1.如图，用三角板作 ABC的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在 ABC中，，是上两点，平分，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．的长度等于D到的距离 B．是的高
C． D．是 ABC的角平分线
3.如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ．
4.做出三角形的三条高．
【题六 三角形角平分线的定义】
1.如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在 ABC中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（ ）

A． B．是的角平分线
C．是的中线 D．
3.如图，是 ABC的角平分线，则平分 ， ，且点在边上．
4.请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)如图，在 ABC中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线；
(2)如图，在 ABC中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线．
【题七 与三角形的高有关的计算问题】
1.如图，在 ABC中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
2.如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是8厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（　　）平方厘米．

A．40 B．80 C．100
3.如图， ABC的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是 ．
4.在直角三角形中，，是边上的高，，，．
(1)求的长；
(2)若 ABC的边上的中线是，求出的面积．
【题八 根据三角形中线求长度】
1.对于题目：如图1，在钝角 ABC中，，，边上的中线，求 ABC的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有方法一可行 B．只有方法二可行
C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行
2.下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点
3.如图，是 ABC的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ．
4.如图，在 ABC中，∠BAC=90°,AD，AE分别是边上的高和中线，，．
(1)求和的周长之差；
(2)求的长度．
【题九 三角形中线求面积】
1.如图， ABC中，三条中线相交于点，若 ABC的面积是36，则的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，已知、分别为 ABC的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则 ABC中边上高的长为（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在 ABC中，点D为边的中点，点E为边上，且，与相交于点F，若的面积比 CDF的面积大1，则 ABC的面积为 ．
4.如图，是 ABC的中线，是的中线．
(1)在中作边上的高；
(2)若 ABC的面积为，，求的长．
【题十 三角形中线求面积】
1.如图，在 ABC中，点D在边上，且，点E是的中点，，交于点G，已知的面积是8，的面积是4，则 ABC的面积是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
2.A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在 ABC所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　）
A．点C处 B． ABC三条中线的交点处
C．点B处 D．和的角平分线的交点处
3.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
4.如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由．
参考答案
【题一 三角形的识别与有关概念】
1.D
【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高，
∴符合题意是D选项，
故选：D．
2.A
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论．
【详解】
解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故选：A．
3.
【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可．
【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个．
故答案为：．
4.解：延长交于点E
∵A是，角D是，
∴角E是，如图所示：
，
∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，
则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，
即，
答：四边形的面积20．
【题二 三角形的分类】
1.D
【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键．
先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答．
【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个．
故选D．
2.D
【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答．
【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形．
故选：D．
3. 110 钝角
【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可．
【详解】解：(度)，
则这个三角形为钝角三角形．
故答案为：110；钝角．
4.（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示，
即为所求；
（2）解：是等腰三角形，是钝角三角形．
【题三 构成三角形的条件】
1.C
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，
不能构成三角形，不符合题意；
B、，
不能构成三角形，不符合题意；
C、，
能构成三角形，符合题意；
D、，
不能构成三角形，不符合题意，
故选：C．
2.B
【分析】本题考查了折扣的意义、图形的放大与缩小、垂线段的性质三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
①打六折出售，就是现价是原价的，比原价便宜了，据此判断即可；②把一个正方形按缩小后，边长缩小到原来的，面积缩小到原来的据此判断即可；③根据“垂线段最短”直接判断即可；④根据“三角形的两边之和大于第三边”判断即可．
【详解】解：①，则一个书包打六折出售，就是便宜了，则原题说法错误；
②把一个正方形按缩小后，边长缩小到原来的，面积缩小到原来的，则原题说法错误；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，则原题说法正确；
④，则用三根长度分别为的小棒不能拼成一个三角形．
综上，错误的有3个．
故选：B．
3.解：填表如下：
三角形 a边 b边 c边
1 6 6 8
2 7 5 8
3 8 4 8
4 9 3 8
4.（1）解：∵一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，
∴转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是；
（2）解：设，，小明再转动一次，转出的数字为c，
由三角形的三边关系得：，
即，
∴，
∴或5或6或7或8，
∴这三条线段能构成三角形的概率为．
【题四 确定第三边的取值范围】
1.D
【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答．
【详解】解：，，能构成三角形，
，
，
解得，
又，
，
选项D不符合要求．
故选D．
2.B
【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解】设第三边为，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
∵为整数，
∴的最小值为6．
故选：B．
3.
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
4.（1）解：如图2，延长至E，使，连接，
是中线，
，
又，
，
，
，
，
∴；
（2）如图3，延长到点G，使，连接，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【题五 画三角形的高】
1.D
【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键．
【详解】解：边的高垂直于，且过点B
由图形可得，选项不是，选项是，
故选：．
2.D
【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的性质定理．根据三角形的高线，三角形的角平分线定义逐一分析判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴的长度等于D到的距离，选项A说法正确，不符合题意；
∵，
∴是的高，选项B说法正确，不符合题意；
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴，选项C说法正确，不符合题意；
∵平分，
∴是的角平分线，选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
3.AE
【分析】根据三角形的高的概念即可得答案．
【详解】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，
∴BE⊥AC，即AE⊥BH，
∴△BHA中边BH上的高是AE，
故答案为：AE
4.解：如图，过作，交延长线于点；
过作，交于点；
过作，交延长线于点；
∴即为所求．
【题六 三角形角平分线的定义】
1.D
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故选：D．
2.C
【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线．熟练掌握三角形的中线，角平分线的定义，是解题的关键．三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的平分线．先根据是中线，是角平分线得出，；根据这两个条件逐一判断即得．
【详解】∵是 ABC的中线，
∴，故A正确，不符合题意；
∴，故D正确，不符合题意；
∵是 ABC的角平分线，
∴，
∴是的角平分线，故B正确，不符合题意；
∵是 ABC的中线，但不是的中线，故C错误，符合题意．
故选：C．
3.
【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键．
根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案．
【详解】解：是 ABC的角平分线，则平分，，且点在边上，
故答案为：，，．
4.（1）如图，延长交于点，
∴即为所求；
（2）如图，延长交于点，延长交于点，
∵点，关于对称，
∴，
∴是三角形的高，
∴即为所求．
【题七 与三角形的高有关的计算问题】
1.B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵是中线，
∴
故选：B
2.B
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据图形可知推出图中阴影部分的面积=平行四边形的面积的一半即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形，
设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，，
则图中阴影部分的面积，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
∵厘米，
∴图中阴影部分的面积（平方厘米），
故选：B．
3.5
【分析】本题考查了三角形高的计算，解题的关键是正确作出辅助线．连接，根据，代入数据计算，即可求解．
【详解】解：连接，
∵ ABC的面积是15，，
∴，
即，
，
故答案为：5．
4.（1）解：如图：
∵，是边上的高，，，．
∴；
∴
∴；
（2）解：∵ ABC的边上的中线是
，
∴．
【题八 根据三角形中线求长度】
1.C
【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行．
【详解】解：图2中，∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；方法一可行；
图3中，由题意知，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；方法二可行；
故选：C．
2.A
【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确；
B、直角三角形有三条高，故该选项错误；
C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误；
D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误；
故选：A．
3.
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键．
【详解】∵是 ABC的中线，
∴，
由的周长为，的周长，
∵的周长比的周长大，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4.（1）解：∵是边上中线，
∴，
∴
，
即和的周长之差；
（2）解：∵是边上的高，
，
，
即．
【题九 三角形中线求面积】
1.D
【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积，根据三角形的中线得出，，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可，熟知上述知识是解此题的关键．
【详解】解：中，三条中线，，相交于点，
，，
，
，
故选：D．
2.C
【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．连接，设，四边形的面积为：，求出， ABC中边上高的长为，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，设， ABC中边上高的长为，
、分别为 ABC的边、的中点，线段为的中线，
，
，
，
，
四边形的面积为：，
，
∴ ABC的面积为，即的面积，
解得：．
故选：C．
3.6
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，根据可得，根据点D为边的中点，可得即可求解．
【详解】∵
∴
∴
∴
∵点D为边的中点，
∴
∴
∵的面积比 CDF的面积大1，
②-①得：
∴ ABC的面积为6
故答案为：6．
4.（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：为 ABC的中线，为中线，
， ，
，
，
，
．
【题十 三角形中线求面积】
1.B
【分析】本题考查三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据三角形的中线平分三角形的面积可得的面积的面积，的面积的面积，再由求出的面积的，可得结论．
【详解】解：连接，
是的中点，
的面积的面积，的面积的面积，
∵BD=2CD，
的面积，
的面积，
的面积的面积．
故选：B．
2.C
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，正确列出每种情况的代数式，然后根据三角形三边关系进行判断是本题解题的关键．分别列出P点在三角形内以及在B、C两点处时，所有学生走过路程的总和，根据三角形三边关系求解即可．
【详解】解：如图：
当点P在 ABC的内部时：
所有学生走过的路程为： ，
当点P在点C处： ，
当点P在点B处： ，
∴
在和中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵
在中，，
∴，
∴，
∵ ABC三条中线的交点处和和的角平分线的交点处均在三角形内，
∴B和D均不符合题意，
综上所述，P点应该在点B处．
故选：C．
3.
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形．
【详解】解：若3为腰长，7为底边长，
∵，
∴三角形不存在，
若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边，
∴这个三角形的周长，
故答案为：．
4.解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小．
理由如下：
∵，且，
∴，
∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点．

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