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16.2《平行线》小节知识点复习题
【题一 立体图形中平行的棱】
1.已知长方体ABCD -EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平行也不垂直的直线是
A．EA B．GH C．HC D．EF
2.如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3.如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）．
4.如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．

【题二 用直尺、三角板画平行线】
1.下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　）
A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸
2.如图中是利用三角尺和直尺画平行线的一种方法，能说明BC∥EF的条件是(　　)
A．∠CAB＝∠EDF B．∠ACB＝∠DFE C．∠ABC＝∠DEF D．∠BCD＝∠EFD
3.下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）．
4.如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点作的平行线．
(2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点．
【题三 同位角、内错角、同旁内角】
1.下列各图中，与是内错角的是（ ）
B．
C． D．
2.如图，下列说法不正确的是（　　）
A．∠A和∠BDC是同位角
B．∠ABD和∠BDC是内错角
C．点A到BC的距离是线段AC的长度
D．点B到AC的距离是线段BD的长度
3.如图，与是内错角的是 ．
4.如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？
(2)与是内错角吗？为什么？
(3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？
【题四 同位角相等两直线平行】
1.下列命题中，不正确的是 （ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行
2.画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
3.如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能）
4.已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：．
【题五 内错角相等两直线平行】
1.如图，下列条件中能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，要得到，则需要条件 （填一个你认为正确的条件即可），理由是 ．
4.在下面的括号内填上推理的依据．
如图，．试说明：．
解：，
．
，
，
（________）．
，
，
（________）．
【经典例题六 同旁内角互补两直线平行】
1.如图，下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列图形中，由能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，在四边形中，连接，其中若，则；若，则；若，则；若，，则判断正确的是 ．
4.如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系．
【经典例题七 垂直于同一直线的两直线平行】
1.在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
2.如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD的夹角是 度．
4.探索与发现（在同一平面内）：
(1)若直线，，判断直线与的位置关系，请说明理由；
(2)若直线，，，则直线与的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明）
(3)现在有2023条直线，，，…，，且有，，，，…，请你探索直线与的位置关系．
【题八 两直线平行同位角相等】
1.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．两直线平行，同位角相等
2.如图，两条平行线被第三条直线所截．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图， ，，则 ．
4.如图，，，．请你求出的度数．
【题九 两直线平行内错角相等】
1.在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
4.（1）如下图，已知，直线，求的度数；
（2）如下图，若，则与有什么数量关系？请说明理由．
【题十 两直线平行同旁内角互补】
1.如图，已知，则图中与互补的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2.如图，是三位同学证明“三角形内角和是”的三种方案：
方案1 方案2 方案3
过点A作， 则，， ∴． 过点C作，延长BC， 则，， ∵， ∴． 过点B作， 则，， ∵， ∴．
在证明过程中，没有用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据的是（ ）
A．方案1和方案2 B．方案1和方案3
C．方案2和方案3 D．方案2
3.抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．

4.如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整：
证明：∵，，
∴，（____________________）
∴
∴（____________________）
∴（____________________）
∵
∴__________
∴__________（____________________）
∴
【题十一 根据平行线的性质探究角的关系】
1.如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，已知，记，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，，为上一点，且，垂足为F，，平分，且，则下列结论：
①；
②；
③；
④∠；其中正确的有 ．（请填写序号）
4.【提出问题】睿睿在学行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．
【题十二 根据平行线的性质求角的度数】
1.如图所示，直线，直线与相交于点，与直线相交于点，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于平行于地面，若，则的大小为（ ）
B． C． D．
3.如图，直线与相交于点，在的平分线上有一点，，当时，的度数是 ．
4.【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
【拓广探究】
（3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
（5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“<”或“=”）
【题十三 平行线的性质在生活中的应用】
1.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ）

A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒
3.如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ．
4.阅读材料，解决问题：
【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明；
【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，．
（2）请问和有什么关系？并说明理由；
（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）．
【题十四 根据平行线的判定与性质求角度】
1.如图所示，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，，，若平分，且满足，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3.将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ．
4.如图，已知．
如
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【题十五 根据平行线的判定与性质证明】
1.将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知，，则下列结论：①；；；．正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
3.如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ．
4.如图，平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点F为线段上一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在射线上取点G，连接，使得，当，时，求的度数；
【题十六 平行公理的应用】
1.已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（ ）
A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能
2.如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ．
4.综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即．
【探索发现】
（1）如图1，之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系．
【题十七 平行公理推论的应用】
1.将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ．
4.如图，，，的平分线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【题十八 求平行线间的距离】
1.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离是，与之间的距离是，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
3.已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
4.如图，，平分，平分，．
(1)问：与平行吗？试说明理由．
(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．
参考答案
【题一 立体图形中平行的棱】
1.C
【详解】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误；
B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误；
C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确；
D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误．
故选C．
2.C
【分析】根据判断异面直线的方法判断即可.
【详解】由题意得：
与棱AD异面的棱有：BB1,CC1,A1B1,C1D1
故选C.
3. ； AD与BG．
【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可；
(2)根据平面内线段的位置关系回答即可.
【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)；
(2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一).
故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG.
4.解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．

【题二 用直尺、三角板画平行线】
1.C
【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可．
【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度，
故选：C．
2.B
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得，∠ACB＝∠DFE可以说明BC∥EF．
【详解】利用三角尺和直尺画平行线，实际就是画∠ACB＝∠DFE，由同位角相等可判定BC∥EF.
故答案选：B.
3.①②③
【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定．
【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③，
故答案为：①②③．
4.（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；
图1
（2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；
图2
【题三 同位角、内错角、同旁内角】
1.A
【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案．
【详解】解：A.、与是内错角，符合题意；
B、与不是内错角，不符合题意；
C、与不是内错角，不符合题意；
D、与不是内错角，不符合题意；
故选：A．
2.C
【分析】根据点到直线的距离以及同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∠A和∠BDC是直线AB、直线BD，被直线AC所截，得到的同位角，因此选项A不符合题意；
B．∠ABD和∠BDC是直线、直线AC被直线BD所截，得到的内错角，因此选项B不符合题意；
C．点A到BC的距离是线段AB的长度，因此选项C符合题意；
D．线段BD的长是点B到直线AC的距离，因此选项D不符合题意；
故选：C．
3.
【分析】内错角在截线的两侧，在被截线的内侧．
【详解】如图所示，与∠C是内错角的是∠2，∠3；
故答案是：∠2，∠3．
4.（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧，
∴与是内错角，
∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁，
∴与是同旁内角，
∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置，
∴与是同位角．
故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角
（2）∵内错角必须在两条被截直线之间，
∴与不是内错角．
故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间
（3）理由: ∵，而，
，
∵和互补，，
∴和也互补．
故答案为：，和互补
【题四 同位角相等两直线平行】
1.C
【分析】本题考查了平行线的判定定理、判断命题的真假，根据平行线的判定定理对各选项逐一判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：A、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原说法正确，不符合题意；
B、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，原说法正确，不符合题意；
C、两条直线被第三条直线所截，位置不确定，不能准确判定这两条直线平行，原说法错误，符合题意；
故选：C．
2.A
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等，
∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
3.能
【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键．
【详解】解：能
理由：
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：能.
4.解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【题五 内错角相等两直线平行】
1.A
【分析】此题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．
直接利用平行线的判定方法分别判断即可得出答案．
【详解】解：A、，
，
故A选项符合题意；
B、，
不能判定，
故B选项不符合题意；
C、，
不能判定，
故C选项不符合题意；
D、，
不能判定，
故D选项不符合题意；
故选：A．
2.A
【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意；
B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意；
故选：A．
3. （答案不唯一） 同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：要得到，利用平行线的判定：
①同位角相等两直线平行，可填；
②内错角相等两直线平行，可填；
③同旁内角互补两直线平行，可填；；
故答案为：（答案不唯一）；同位角相等，两直线平行；
4.解：，
．
，
，
（内错角相等，两直线平行）．
，
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【题六 同旁内角互补两直线平行】
1.B
【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定定理逐项进行分析即可求解．
【详解】A．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，故该选项不符合题意；
B．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，但不能推出直线，故该选项符合题意；
C．与是与被直线所截形成的同旁内角，由能推出直线，故该选项不符合题意．
D．与是与被直线所截形成的内错角，由能推出直线，故该选项不符合题意；
故选：B．
2.C
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、D、和是同旁内角，不能判定，故B、D不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定，故C符合题意．
故选：C．
3.
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐一判断即可，能正确根据平行线的判定进行推理是解题的关键．
【详解】若，则，故判断错误；
若，则，故判断错误；
若，则，故判断正确；
∵，，，
∴，
∴，故判断正确；
故答案为：．
4.解：∵和是内错角，，
∴（内错角相等，两直线平行），
∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【题七 垂直于同一直线的两直线平行】
1.B
【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
……，
以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，
∵，
∴，
故选：B．
2.D
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式，根据垂直的定义，平行线的判定，同角的余角相等，等面积公式逐项判断即可．
【详解】、根据作图可知：，，
∴，故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，，
∴，，
∴，，
∴，故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，
根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，故此选项错误，符合题意；
故选：．
3.50
【分析】先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线AB与BD的夹角是50度，
故答案为：50．
4.（1）解：．理由如下：
如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，又，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得
，
故答案为：；
（3）解：直线与，的位置关系分别是，，直线与，的位置关系分别是，，从开始，直线，，…，与直线的位置关系以，，，为一次循环，
∴，，
∴直线与的位置关系是．
【题八 两直线平行同位角相等】
1.D
【分析】本题主要考查真假命题、逆命题．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意；
B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
故选：D．
2.B
【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由对顶角相等得到，再由平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴．
故选：B．
3.
【分析】本题考查平行线的判定与性质，由得出，再根据平行线的性质即可得解．解题的关键是掌握：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
4.解：延长交直线于点，如图：
，
，
，
．
【题九 两直线平行内错角相等】
1.A
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案．
【详解】解：
，
，即，
．
，
，
，
．
故答案为：A．
2.D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧．
过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数．
【详解】解：过点向左作，
直线，
，
，，
又，
，
，
故选：D．
3.
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过顶点O作直线，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4.解：（1），
．
，
，
．
（2）．理由如下：
，
．
又，
．
【题十 两直线平行同旁内角互补】
1.C
【分析】本题考查了平行线的性质与邻补角的定义，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由两直线平行，同旁内角互补可得，根据对顶角相等可得，于是有，又由邻补角的定义可得，从而得出答案．
【详解】解：如图，
∵，
，
，
，
由图得，
故与互补的角是：，，，共个，
故选：．
2.B
【分析】根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补”是解题的关键．
【详解】解：方案1：
过点A作，
则（则两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
方案2：
过点C作，延长BC，
则（则两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴．
方案3：
过点B作，
则（则两直线平行，内错角相等），
（则两直线平行，内错角相等），，
∵，
∴．
方案1和方案3都没用到“两直线平行，同位角相等”这一理论依据，而方案2用到了，
故选：B．
3.
【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的度数为．
故答案为：．

4.证明：∵，，
∴，，（垂直的定义）
∴，
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴，（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴，
∴，（内错角相等，两直线平行）
∴．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行．
【题十一 根据平行线的性质探究角的关系】
1.A
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的有关计算，过点E作交于点Q，根据平分，平分，可得，，即可得．则有．进而可得．则有，即，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点Q，
∵，，
∴，，
∴
又平分，平分，
∴，，
∴．
∴．
∵，．
∴．
∴，
即，
∵，
∴．
故选：A．
2.B
【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴∠GFC=∠FCD．
∴．
同理：．
∴
∵，
∴．
故选：B．
3.①④
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，先由平行线的性质得到 ，，，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可判断②；由垂线的定义得到，则，再由平行线的性质得到，据此可判断①；先证明，得到，则，据此可判断③；分别求出，，，据此可判断④．
【详解】解：，，
，，，
平分，
，
∴，故②错误；
，即，
，
，
∵，
∴，故①正确
，，
∴，
，
，
，故③错误；
，
，
，，
，故④正确；
综上所述，正确的有①④，
故答案为：①④．
4.（1），理由如下：
过点作，

，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，新的结论为 理由为：
过作，
，
，
，
，
，
；
②不成立，如图③所示， 结论为：；
过作，
，
，
，
，
，
；

（3），
过点作，点作，
又∵，
∴，
∴，，，
即，
∴．

【题十二 根据平行线的性质求角的度数】
1.B
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，由可得，由垂直可得，进而利用平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2.B
【分析】过点B作，如图，由于垂直于地面，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：∵垂直于地面，
∴，
过点B作，
∵平行于地面，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选B．
3.
【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，先利用邻补角求得，进而根据角平分线定义得，进而根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4.（1）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴
又∵，即，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，即，
∴；
（3），理由如下，
∵，
∴
∵，
∴，
∵平分
∴，
又∵，即，
∴，
∴；
（4）∵，
∴
∵平分
∴，
又∵，即，
∴；
（5）如图所示，
∵
∴
∵，
∴
又∵，即，
∴，
∵， ，
∴，
∴
由（4）可得，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【题十三 平行线的性质在生活中的应用】
1.B
【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可．
【详解】如图，
∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的
∴，，
∵
∴，，
∴，
故选：B．
2.D
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要，
∴，
由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1：
，即，
解得：，
如图2
此时，
即，
解得：，
综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒，
故选：D．
3.
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，．
4.（1）证明：，
，，
；
（2），理由如下：
，，，
，
，
；
（3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明HG没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）．
【题十四 根据平行线的判定与性质求角度】
1.D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定．掌握平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质，是解题的关键．
先证明，再根据两直线平行同位角相等可得，再根据对顶角相等可得．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：D．
2.D
【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，过点作，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
3. 或
【分析】（）设交于点，由，则，证明，然后根据平行线的性质即可求解；
（）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，当三角形在线段右侧时进行分析即可；
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，如图①，过点作，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴；
当三角形在线段右侧时，如图②，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
4.（1）解：证明：，
，
．
（2），
．
又，
，
，
．
【题十五 根据平行线的判定与性质证明】
1.C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：．
2.C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：因为，所以 (内错角相等，两直线平行)，所以正确；
因为，，所以，即，所以，所以正确；
无法证明．
所以正确的有3个．
故选C．
3.①②④
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．
由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论．
【详解】解：，，
，
，故正确；
，
，
，
，
即平分，故正确；
无法证得，
故错误；
的余角比大，
，
，
，
，
设，，
，
平分，
，
平分，
，
即，
，
解得，
即，故正确；
故答案为：．
4.（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）证明：过作，如图，
，
，
，，
，
即；
（3）解：设，
，，
，
由（1）知：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
解得：，
即．
【题十六 平行公理的应用】
1.D
【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案．
【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行；
当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行；
当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条；
当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行；
故选：D．
2.B
【分析】本题考查了平行线的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等．过点作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差关系计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
故选：B
3. 平行
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行公理即可判断与的位置关系；过点A作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴；
如图，过点A作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：平行；．
4.解：（1）如图所示，过O作，
，
，
∴，，
∴，
即；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
过点F作，
，
，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【题十七 平行公理推论的应用】
1.D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作，
由题意得：，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2.C
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：．
3.
【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
由题意可知，，
∴，
∴，
故答案为：．
4.（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，如图，作，
则，
由（）可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题十八 求平行线间的距离】
1.A
【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可
【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图，
∵，相邻两条平行线间的距离为m，
∴直线c，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴ ABC的面积
故选：A
2.C
【分析】本题考查平行线间的距离，分直线在直线，外，直线在直线，之间两种情况讨论求解，熟练掌握平行线间的距离及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】如图，直线在直线，外时，

∵与之间的距离是，与之间的距离是，
∴与之间的距离为；
如图，直线在直线，之间时，

∵与之间的距离是，与之间的距离是，
∴与之间的距离为；
综上所述，与之间的距离为或，
故选：．
3.或
【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】解：当在和的同侧时，距离为；
当在之间时，距离为，
故答案为：或．
4.（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
设，所在的直线之间的距离为，
，
即，
，
即，所在的直线之间的距离为．

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