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泸县五中高2024级高一下期期末考试
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．已知命题，则是
A． B．
C． D．
3．复数的虚部为
A． B．1 C． D．i
4．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则
A．-6 B． C． D．
5．已知平面向量，，则“或”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若，且，则的值为
A． B． C． D．
7．设函数是奇函数.若函数，则
A．28 B．33 C．38 D．43
8．在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为
A． B． C． D．9
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ）
A．的值域为 B．的最小正周期为4
C．在上有3个零点 D．
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）

A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为
第II卷（非选择题共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共8个小题，共92分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 .
13．已知，则 .
14．在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知向量，，.
(1)求；
(2)求与的夹角.
16．（15分）
已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标；
(2)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，为偶函数，求函数的单调递减区间．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且，侧棱底面，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的平面角的大小．
18．（17分）
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角．
(2)为边上一点，且．
①若，求当取最小值时的值；
②若为角平分线，求的取值范围．
19．（17分）
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围．泸县五中高2024级高一下期期末考试
数学参考答案与评分
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D A A A D ABD BCD
题号 11
答案 AB
二．填空题
12． 13． 14．
15．解：（1），
故，
故，解得，
故，所以；······························8分
（2），
又，故.····································································13分
16．（1）解：根据的图像知，且，所以，可得．
将点代入得且，解得，
所以．
令，解得，
所以的图像对称中心的坐标为．······································6分
（2）解：由将的图像向右平移个单位，得到，因为为偶函数，可得，所以，
又因为，可得，所以，
所以
，
令，可得，
所以函数的单调递减区间为．··························15分
17．解：（1）因为底面是菱形，所以，又底面，平面，
所以，又，，平面，所以平面．···················4分
（2）因为是的中点，所以，
因为， 又，平面，
所以．·······································9分
（3）设，连接，，
由（1）知，平面，又，平面，
所以，，则为二面角的平面角，
因为四边形是菱形，，，所以，
因为底面，平面，所以，
在中，，为的中点，所以，，
又是的中点，是的中点，所以，所以，
所以，二面角的平面角为.·································15分
18．解：（1），
由正弦定理得：，
展开得：，
，而,，
故，
，，
，故．····································································5分
（2）①，
，
，
，
，
根据余弦定理：，
，
令，
则
，
则当且仅当时等号成立，
解得：时，
时，取最小值．····························································11分
②为的角平分线
在中，由正弦定理得，
即，
,,
，
．
又，,，
，当且仅当时等号成立，
故··························································17分
19．解：（1）由，可知．
当时，，
当时，解得，
此时在中只存在一个，使，
所以不是的“2重覆盖函数”；····················································5分
（2）由题意可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数），
使得（其中），
，则，
，即，
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，
故只需时，仅有1个根．
当时，，符合题意；
当时，发现，
则只需满足，解得，
综上得的取值范围为：．·······················································11分
（3）因为，
当时，，
当时，且，
当且仅当时取等号，所以．
综上可得，即，
则对于任意要有2024个根，
作出函数的图象（部分），如图：
要使有2024个根，则，
又，则，故正实数的取值范围．·····························17分

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