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2024-2025学年固始县一高二高二模联考
高三数学试题卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．展开式中第3项的系数是（ ）
A．90 B． C． D．270
2．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75
6．学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
8．双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过的直线l，使得取到最大值
D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为
10．已知函数定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
11．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知空间中的三个点，则点到直线的距离为 ．
13．函数的最小正周期为 .
14．在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
16．(15分)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．(15分)如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点.
(1)求证: 平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．(17分)已知函数.
(1)求证: 当时，;
(2)已知函数有3个不同的零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
19．(17分)第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶 二阶导数）
(1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
(2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.
试卷第1页，共3页
2024-2025学年固始县一高二高二模联考
高三数学参考答案
1．A
2．D
3．A
4．C
5．B
6．B
7．C
8．D
9．ABD
10．ABD
11．ABD
12．/
13．/
14．
15．（1）当时，.
当时，，
当时，也符合.
综上，. (6分)
（2）由
则
，
故的前项和. (7分)
16．（1）因为，所以，又，
所以由正弦定理可得：，即，解得 (4分)
（2）因为，，，
化简可得：，解得(负值舍去)， (5分)
（3）因为，，
因为，为锐角，可得，
所以 (6分)
17．（1）过作于点，连接，由，得≌，
则，即，而，
因此，又平面，则平面，平面，
所以平面平面.
(6分)
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
则，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设平面 的一个法向量 ，
则由 ，取，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为. (9分)
18．
（1）①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时， (8分)
（2），
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上: (9分)
19．（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，，
即抛物线方程为，即，则，，
又抛物线在点处的曲率，则，
即在该抛物线上点处的曲率为； (4分)
（2），
在上为奇函数，又在上为减函数.
对于恒成立等价于对于恒成立.
又因为两个函数都是偶函数，
记，，则曲线恒在曲线上方，
，，又因为，
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，
又因为，，
，，所以，解得：，
因此，的取值范围为； (6分)
（3）由题可得，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
令，得，即，
显然，，
由，知，同理，
故，从而，
设，即，所以数列是等比数列，
故，即，从而，
所以，，
，
当时，显然；
当时，，
，
综上，. (7分)
试卷第1页，共3页

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