资源简介

甘肃省平凉市庄浪县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2024八下·庄浪期末）若式子有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·庄浪期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．9，12，15 C．1，， D．4，5，6
3．（2024八下·庄浪期末）将直线向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·庄浪期末）如图，在中，，则的度数是（　　）
A．117° B．63° C．37° D．27°
5．（2024八下·庄浪期末）7月1日是中国共产党建党纪念日，也称“党的生日”．某校开展了以“青春心向党”为主题的党史知识竞赛，随机抽取了五名同学的成绩分别为9.3，9.6，9，10，9.9，则这组成绩的中位数为（　　）
A．9 B．9.9 C．9.6 D．9.3
6．（2024八下·庄浪期末）一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·庄浪期末）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·庄浪期末）如图，在中，，于，若，，则（　　）
A． B． C． D．5
9．（2024八下·庄浪期末）如图，矩形的两条对角线的一个夹角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·庄浪期末）一列快车由甲地开往乙地，同时一列慢车由乙地开往甲地，两车匀速行驶，它们离乙地路程与行驶时间之间的函数关系如图所示，则两车相遇时，它们离乙地的路程为（　　）
A．150km B．200km C．250km D．300km
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2024八下·庄浪期末）计算的结果是　 　．
12．（2024八下·庄浪期末）若一组数据1、3、x、5、8的唯一众数为8，则x的值为　 　．
13．（2024八下·庄浪期末）如图，函数和（且a为常数）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为　 　．
14．（2024八下·庄浪期末）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，连接．若，，则线段的长为　 　．
15．（2024八下·庄浪期末）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为　 　海里．
16．（2024八下·庄浪期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，则矩形的面积最小值为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024八下·庄浪期末）计算：．
18．（2024八下·庄浪期末）已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设点在这个函数的图象上，求a的值．
19．（2024八下·庄浪期末）如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长．
20．（2024八下·庄浪期末）如图，规格相同的盘子整齐地叠放在桌面上，个盘子的高度是，个盘子的高度是．
（1）已知盘子的高度与个数（个）成一次函数关系，请求出与之间的函数表达式；
（2）若盘子的个数为个，求盘子的高度．
21．（2024八下·庄浪期末）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是菱形．
22．（2024八下·庄浪期末）某中学准备举行一分钟跳绳比赛，每班准备抽取一人进入总决赛，八（1）班经过评选，准备从甲、乙两名学生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名学生进行了5次一分钟跳绳（单位：个）测试，并对数据进行收集、整理：
甲、乙两人得分表：
序号 1 2 3 4 5
甲 170 177 180 180 193
乙 177 180 182 179 182
甲、乙两人得分统计表：
　 平均数 中位数 众数
甲 a 180 180
乙 180 b 182
解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）请计算乙同学的方差；
（3）已知甲同学的方差为55.6，甲、乙都认为自己去参加总决赛更好些，请根据成绩的稳定性来说明选择谁去参加比赛较好，并说明理由．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2024八下·庄浪期末）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示：
应聘者 面试 笔试
甲 87 90
乙 91 82
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
24．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
25．（2024八下·庄浪期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
26．（2024八下·庄浪期末）如图1，在中，点在对角线上，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）如图2，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
27．（2024八下·庄浪期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 式子有意义 ，即，变形为-a≥-7，
解得：，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即根被开方式具有非负性，因此本题可以列式为，最后按照解不等式的步骤计算即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，不是勾股数，∴A不符合题意；
B、∵，是勾股数，∴B符合题意；
C、∵1，，，这三个数不是整数，∴C不符合题意；
D、∵，不是勾股数，∴D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用勾股数的定义及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线y=2x+4向下平移3个单位，
得y=2x+4-3，
即y=2x+1，
故选：D．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质及直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将五名同学的成绩从小到大进行排列，
即9，9.3，9.6，9.9，10，居于中间的数是9.6，
因此中位数为9.6，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查一组数据的中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（如果最中间有两个数，则中位数是这两个数的平均数）。根据中位数的定义分析数据即可。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
因此这条边的邻边长为。
故答案为：．
【分析】此题考查了二次根式除法计算。首先根据长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长，然后列式计算即可。二次根式相除，整数与整数相除、被开方数与被开方数相除，根指数不变。在进行二次根式的除法时，通常需要先化简被除数和除数，使它们成为最简二次根式。
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得：，
∴0＜k＜2.
故答案为：B。
【分析】根据一次函数图象得位置，可以判断一次项系数和常数项的正负号，列出不等式组，解不等式组，即可求得答案。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵两条对角线的长度的和为，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，，根据题意可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可以分析并计算出，甲乙两地的路程为450km，快车用时3h，慢车用时6h，因此
快车的速度=，
慢车的速度=，
∴两车相遇所需时间=；
∴两车相遇时，它们离乙地的路程为．
故答案为：A．
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系。首先根据图象，可以确定甲乙两地的路程以及快车和慢车行驶完全程所用的时间，这样就可以求出快车和慢车的速度。然后计算出两车相遇的时间。因为问题是“ 两车相遇时，它们离乙地的路程 ”，可以转化为“两车相遇时，慢车所行驶的路程”，列式计算即可。
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了实数的运算。可以将原式看错是，这时利用分配律进行计算即可。
12．【答案】8
【知识点】众数
【解析】【解答】解：观察数据发现，除x外，其他数据只出现一次，
∵这一组数据的唯一众数为8，
∴=8，
故答案为：8．
【分析】本题考查众数的定义，即众数是该组数据中出现次数最多的数。本题的数据因为唯一众数为8，所以只有当x=8时成立，由此得出答案。
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图象可以看出，当时，函数在函数 的上方，即；
当时，函数在函数 的下方，即；
因此关于的不等式的解集为。
故答案为：．
【分析】本题主要考查从图像来判断不等式的解集。
首先从图像和条件可以看出，A点是两个函数的交点，然后分析当在交点左侧和右侧，对应的函数值的大小，最后即可得出答案。
14．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴∠A=∠DCB=90°，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】此题考查中位线的性质、矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线性质等。
首先根据三角形中位线性质可以求出AD的长度，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”即可求出CO的长度。
15．【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
AM=4×5=20海里，AN=3×5=15海里，
在中，海里．
∴ 行驶5个小时后，两船的距离为25海里．
故答案为：25．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用。
首先根据方位角可以判断，然后根据公式“路程=速度×时间”，可以分别求出5小时后两船的行驶里程，最后根据勾股定理即可求得两条船之间的距离。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，，
，，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
∴，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
∴此时，
即正方形面积的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短。
首先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，得出矩形为正方形，根据，及垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，由此即可得出结果．
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查二次根式的运算步骤。首先先化简式子中的所有二次根式，化简到最简二次根式之后，先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可。
18．【答案】（1）解：∵y与x成正比例，
∴设．
当时，，代入得到，
解得，
∴y与x的函数关系式为。
（2）解：∵点在函数的图象上，
代入得到，
解得．
∴a的值为9。
【知识点】正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式。
（1）因为y与x成正比例，因此可以先假设关系式为，再将数值代入求出k的值即可；
（2）结合（1）的结论，将点代入关系式，求出a的值即可．
（1）∵y与x成正比例，
∴设．
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
19．【答案】解：，线段，
在Rt中，
由题意可知：AC=AB=10，
∴OC=AC-AO=4．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在Rt中，利用勾股定理即可求出AB的长度，然后根据圆的性质得到：最后根据线段间的数量关系即可求解.
20．【答案】（1）解：设，
当时，；当时，，
∴，解得：，
∴与之间的函数表达式；
（2）解：由（）得：与之间的函数表达式，
当时，，
答：盘子的高度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将，；，，代入解析式即可求出答案.
（2）将x=12代入解析式即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：点、分别是边、的中点，
∴，
而DF是DE的延长线，因此，
∵，
四边形是平行四边形。
（2）证明：点是边的中点，，
，即，
四边形是平行四边形，
=DC，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识。（1）先根据三角形中位线定理得出，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）放到直角三角形BAC中，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得出，然后结合（1）的结论证明四边形是平行四边形得出AF=BD=DC，最后根据“一组临边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论．
（1）证明：点、分别是边、的中点，
∴，即，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）点是边的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
22．【答案】（1）180， 180
（2）解：，
∴乙同学的方差是3.6。
（3）解：选乙去参加比赛比较好．
∵甲同学的平均得分和乙同学的平均得分一样，且乙同学的众数182大于甲同学的众数180，
但是，，
即乙的成绩比甲的成绩更稳定．
故选乙去参加比赛比较好．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：；
将乙得分按照从小到大排列为：177、179、180、182、182，中间的数是180，
因此中位数；
故答案为：（1）180；180。
【分析】本题主要考查平均数、中位数、方差的计算，并且利用这些数据分析与解决实际问题。
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。中位数是将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，居于中间位置的数，如果中间是两个数，那么中位数就是这两个数的平均数。根据平均数的求法，将所有数据求和之后再乘以，就是的值；根据中位数定义及求法，将这组数据从小到大或从大到小排列，中间的数就是；
（2）方差是反应该组数据波动程度的依据，其计算方法是先计算出该组数据的平均数，然后用该组数据的每个数减去平均数的平方，求和之后再除以该组数据的个数即可。根据方差计算公式代值求解即可得到答案；
（3）根据（1）中的平均数、众数和（2）中方差，即可得到答案．
（1）解：；
将乙得分按照从小到大排列如下：177、179、180、182、182，
则由中位数定义可知；
故答案为：180；180；
（2）解： 乙的方差为：；
（3）解：选乙去参加比赛比较好．
∵，
∴乙的成绩比甲的成绩更稳定．
故选乙去参加比赛比较好．
23．【答案】解：甲的平均成绩为：（87×6+90×4）÷（6+4）=88.2（分），
乙的平均成绩为：（91×6+82×4）÷（6+4）=87.4（分），
∵88.2＞87.4，即甲的平均分数较高，
∴甲将被录取．
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】本题主要考查了求一组数的加权平均数。加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。根据题意可知，面试成绩对应的权数是6，笔试成绩对应的权数是4，按照公式可以分别计算出甲乙的平均成绩，最后比较即可。
24．【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
25．【答案】解：∵∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm
∴在Rt△ABD中，∵BC=3dm，CD=6dm
∴
∴，
∴∠BCD=90°
∴BC⊥CD
∴该婴儿车符合安全标准.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题关键．根据勾股定理：在Rt△ABD中，，然后通过计算可知：，由勾股定理的逆定理可得：∠BCD=90°即BC⊥CD，由此即可得出答案．
26．【答案】（1）证明：在中，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）解：四边形是正方形．
理由：由（1）知，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据全等三角形性质可得，则，再根据直线平行判定定理可得， 再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据矩形性质可得，则，再根据正方形性质即可求出答案.
（1）证明：在中，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）四边形是正方形．
理由：由（1）知，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．
27．【答案】（1）解：点是直线与 直线的交点，
．
即．
将点，代入直线中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：。
（2）解：设点的坐标为（，），
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，；
点的坐标为或。
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，设．
点在直线上，设点的坐标为．
∴M点的坐标为（x，0），
，．
，解得x=1，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】本题综合考查一次函数解析式以及相关的实际应用．
（1）首先从图上可以直接得出A点的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标和点的坐标代入直线，列出二元一次方程组即可求出和的值，函数解析式即可得出；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，这样列出面积等式即可求得的值，点的坐标即可求出；
（3）从图上首先可以确定点和点的横坐标相同，然后根据两条函数解析式可以分别假设出点、点和点M的坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
（1）解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
（2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
1 / 1甘肃省平凉市庄浪县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2024八下·庄浪期末）若式子有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： 式子有意义 ，即，变形为-a≥-7，
解得：，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即根被开方式具有非负性，因此本题可以列式为，最后按照解不等式的步骤计算即可。
2．（2024八下·庄浪期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．9，12，15 C．1，， D．4，5，6
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，不是勾股数，∴A不符合题意；
B、∵，是勾股数，∴B符合题意；
C、∵1，，，这三个数不是整数，∴C不符合题意；
D、∵，不是勾股数，∴D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用勾股数的定义及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
3．（2024八下·庄浪期末）将直线向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线y=2x+4向下平移3个单位，
得y=2x+4-3，
即y=2x+1，
故选：D．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
4．（2024八下·庄浪期末）如图，在中，，则的度数是（　　）
A．117° B．63° C．37° D．27°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质及直线平行性质即可求出答案.
5．（2024八下·庄浪期末）7月1日是中国共产党建党纪念日，也称“党的生日”．某校开展了以“青春心向党”为主题的党史知识竞赛，随机抽取了五名同学的成绩分别为9.3，9.6，9，10，9.9，则这组成绩的中位数为（　　）
A．9 B．9.9 C．9.6 D．9.3
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将五名同学的成绩从小到大进行排列，
即9，9.3，9.6，9.9，10，居于中间的数是9.6，
因此中位数为9.6，
故答案为：C．
【分析】本题主要考查一组数据的中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，最中间的那个数（如果最中间有两个数，则中位数是这两个数的平均数）。根据中位数的定义分析数据即可。
6．（2024八下·庄浪期末）一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
因此这条边的邻边长为。
故答案为：．
【分析】此题考查了二次根式除法计算。首先根据长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长，然后列式计算即可。二次根式相除，整数与整数相除、被开方数与被开方数相除，根指数不变。在进行二次根式的除法时，通常需要先化简被除数和除数，使它们成为最简二次根式。
7．（2024八下·庄浪期末）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得：，
∴0＜k＜2.
故答案为：B。
【分析】根据一次函数图象得位置，可以判断一次项系数和常数项的正负号，列出不等式组，解不等式组，即可求得答案。
8．（2024八下·庄浪期末）如图，在中，，于，若，，则（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
9．（2024八下·庄浪期末）如图，矩形的两条对角线的一个夹角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵两条对角线的长度的和为，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据矩形性质可得，，根据题意可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2024八下·庄浪期末）一列快车由甲地开往乙地，同时一列慢车由乙地开往甲地，两车匀速行驶，它们离乙地路程与行驶时间之间的函数关系如图所示，则两车相遇时，它们离乙地的路程为（　　）
A．150km B．200km C．250km D．300km
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可以分析并计算出，甲乙两地的路程为450km，快车用时3h，慢车用时6h，因此
快车的速度=，
慢车的速度=，
∴两车相遇所需时间=；
∴两车相遇时，它们离乙地的路程为．
故答案为：A．
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系。首先根据图象，可以确定甲乙两地的路程以及快车和慢车行驶完全程所用的时间，这样就可以求出快车和慢车的速度。然后计算出两车相遇的时间。因为问题是“ 两车相遇时，它们离乙地的路程 ”，可以转化为“两车相遇时，慢车所行驶的路程”，列式计算即可。
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2024八下·庄浪期末）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了实数的运算。可以将原式看错是，这时利用分配律进行计算即可。
12．（2024八下·庄浪期末）若一组数据1、3、x、5、8的唯一众数为8，则x的值为　 　．
【答案】8
【知识点】众数
【解析】【解答】解：观察数据发现，除x外，其他数据只出现一次，
∵这一组数据的唯一众数为8，
∴=8，
故答案为：8．
【分析】本题考查众数的定义，即众数是该组数据中出现次数最多的数。本题的数据因为唯一众数为8，所以只有当x=8时成立，由此得出答案。
13．（2024八下·庄浪期末）如图，函数和（且a为常数）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图象可以看出，当时，函数在函数 的上方，即；
当时，函数在函数 的下方，即；
因此关于的不等式的解集为。
故答案为：．
【分析】本题主要考查从图像来判断不等式的解集。
首先从图像和条件可以看出，A点是两个函数的交点，然后分析当在交点左侧和右侧，对应的函数值的大小，最后即可得出答案。
14．（2024八下·庄浪期末）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，连接．若，，则线段的长为　 　．
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴∠A=∠DCB=90°，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】此题考查中位线的性质、矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线性质等。
首先根据三角形中位线性质可以求出AD的长度，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”即可求出CO的长度。
15．（2024八下·庄浪期末）如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为　 　海里．
【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
AM=4×5=20海里，AN=3×5=15海里，
在中，海里．
∴ 行驶5个小时后，两船的距离为25海里．
故答案为：25．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用。
首先根据方位角可以判断，然后根据公式“路程=速度×时间”，可以分别求出5小时后两船的行驶里程，最后根据勾股定理即可求得两条船之间的距离。
16．（2024八下·庄浪期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，则矩形的面积最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，，
，，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
∴，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
∴此时，
即正方形面积的最小值为．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短。
首先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，得出矩形为正方形，根据，及垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，由此即可得出结果．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024八下·庄浪期末）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查二次根式的运算步骤。首先先化简式子中的所有二次根式，化简到最简二次根式之后，先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可。
18．（2024八下·庄浪期末）已知y与x成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设点在这个函数的图象上，求a的值．
【答案】（1）解：∵y与x成正比例，
∴设．
当时，，代入得到，
解得，
∴y与x的函数关系式为。
（2）解：∵点在函数的图象上，
代入得到，
解得．
∴a的值为9。
【知识点】正比例函数的概念；正比例函数的性质
【解析】【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式。
（1）因为y与x成正比例，因此可以先假设关系式为，再将数值代入求出k的值即可；
（2）结合（1）的结论，将点代入关系式，求出a的值即可．
（1）∵y与x成正比例，
∴设．
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
19．（2024八下·庄浪期末）如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长．
【答案】解：，线段，
在Rt中，
由题意可知：AC=AB=10，
∴OC=AC-AO=4．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在Rt中，利用勾股定理即可求出AB的长度，然后根据圆的性质得到：最后根据线段间的数量关系即可求解.
20．（2024八下·庄浪期末）如图，规格相同的盘子整齐地叠放在桌面上，个盘子的高度是，个盘子的高度是．
（1）已知盘子的高度与个数（个）成一次函数关系，请求出与之间的函数表达式；
（2）若盘子的个数为个，求盘子的高度．
【答案】（1）解：设，
当时，；当时，，
∴，解得：，
∴与之间的函数表达式；
（2）解：由（）得：与之间的函数表达式，
当时，，
答：盘子的高度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将，；，，代入解析式即可求出答案.
（2）将x=12代入解析式即可求出答案.
21．（2024八下·庄浪期末）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：点、分别是边、的中点，
∴，
而DF是DE的延长线，因此，
∵，
四边形是平行四边形。
（2）证明：点是边的中点，，
，即，
四边形是平行四边形，
=DC，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识。（1）先根据三角形中位线定理得出，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）放到直角三角形BAC中，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得出，然后结合（1）的结论证明四边形是平行四边形得出AF=BD=DC，最后根据“一组临边相等的平行四边形是菱形”即可得出结论．
（1）证明：点、分别是边、的中点，
∴，即，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）点是边的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
22．（2024八下·庄浪期末）某中学准备举行一分钟跳绳比赛，每班准备抽取一人进入总决赛，八（1）班经过评选，准备从甲、乙两名学生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名学生进行了5次一分钟跳绳（单位：个）测试，并对数据进行收集、整理：
甲、乙两人得分表：
序号 1 2 3 4 5
甲 170 177 180 180 193
乙 177 180 182 179 182
甲、乙两人得分统计表：
　 平均数 中位数 众数
甲 a 180 180
乙 180 b 182
解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）请计算乙同学的方差；
（3）已知甲同学的方差为55.6，甲、乙都认为自己去参加总决赛更好些，请根据成绩的稳定性来说明选择谁去参加比赛较好，并说明理由．
【答案】（1）180， 180
（2）解：，
∴乙同学的方差是3.6。
（3）解：选乙去参加比赛比较好．
∵甲同学的平均得分和乙同学的平均得分一样，且乙同学的众数182大于甲同学的众数180，
但是，，
即乙的成绩比甲的成绩更稳定．
故选乙去参加比赛比较好．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：；
将乙得分按照从小到大排列为：177、179、180、182、182，中间的数是180，
因此中位数；
故答案为：（1）180；180。
【分析】本题主要考查平均数、中位数、方差的计算，并且利用这些数据分析与解决实际问题。
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。中位数是将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，居于中间位置的数，如果中间是两个数，那么中位数就是这两个数的平均数。根据平均数的求法，将所有数据求和之后再乘以，就是的值；根据中位数定义及求法，将这组数据从小到大或从大到小排列，中间的数就是；
（2）方差是反应该组数据波动程度的依据，其计算方法是先计算出该组数据的平均数，然后用该组数据的每个数减去平均数的平方，求和之后再除以该组数据的个数即可。根据方差计算公式代值求解即可得到答案；
（3）根据（1）中的平均数、众数和（2）中方差，即可得到答案．
（1）解：；
将乙得分按照从小到大排列如下：177、179、180、182、182，
则由中位数定义可知；
故答案为：180；180；
（2）解： 乙的方差为：；
（3）解：选乙去参加比赛比较好．
∵，
∴乙的成绩比甲的成绩更稳定．
故选乙去参加比赛比较好．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2024八下·庄浪期末）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示：
应聘者 面试 笔试
甲 87 90
乙 91 82
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
【答案】解：甲的平均成绩为：（87×6+90×4）÷（6+4）=88.2（分），
乙的平均成绩为：（91×6+82×4）÷（6+4）=87.4（分），
∵88.2＞87.4，即甲的平均分数较高，
∴甲将被录取．
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】本题主要考查了求一组数的加权平均数。加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。根据题意可知，面试成绩对应的权数是6，笔试成绩对应的权数是4，按照公式可以分别计算出甲乙的平均成绩，最后比较即可。
24．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算；二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
25．（2024八下·庄浪期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】解：∵∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm
∴在Rt△ABD中，∵BC=3dm，CD=6dm
∴
∴，
∴∠BCD=90°
∴BC⊥CD
∴该婴儿车符合安全标准.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理逆定理是解题关键．根据勾股定理：在Rt△ABD中，，然后通过计算可知：，由勾股定理的逆定理可得：∠BCD=90°即BC⊥CD，由此即可得出答案．
26．（2024八下·庄浪期末）如图1，在中，点在对角线上，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）如图2，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：在中，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）解：四边形是正方形．
理由：由（1）知，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据全等三角形性质可得，则，再根据直线平行判定定理可得， 再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据直线平行性质可得，则，再根据矩形性质可得，则，再根据正方形性质即可求出答案.
（1）证明：在中，，
．
又，
，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
（2）四边形是正方形．
理由：由（1）知，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形．
27．（2024八下·庄浪期末）如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点是直线与 直线的交点，
．
即．
将点，代入直线中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：。
（2）解：设点的坐标为（，），
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，；
点的坐标为或。
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，设．
点在直线上，设点的坐标为．
∴M点的坐标为（x，0），
，．
，解得x=1，
点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】本题综合考查一次函数解析式以及相关的实际应用．
（1）首先从图上可以直接得出A点的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标和点的坐标代入直线，列出二元一次方程组即可求出和的值，函数解析式即可得出；
（2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，这样列出面积等式即可求得的值，点的坐标即可求出；
（3）从图上首先可以确定点和点的横坐标相同，然后根据两条函数解析式可以分别假设出点、点和点M的坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标．
（1）解：点在直线上，
．
即．
将点，代入中，
得：．
解得：．
直线的函数解析式为：；
（2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
点的坐标为，
．
则，
解得：或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：如图，连接交于点，
四边形是正方形，
，，．
点在直线上，
设．
点在直线上，
设点的坐标为：．
，．
，
，
点的坐标为．
1 / 1

展开更多......

收起↑