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2024-2025学年下学期期中质量检测
九年级数学试卷
（考试时间：100分钟：满分：120分：闭卷考试）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四个有理数中，绝对值最小的是（ ）
A.-2 B.0 C.3 D.
2.中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味.如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛.如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
3.截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过139亿元人民币，跃居全球动画票房榜首.数据“139亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A.对北京某旅游景点游客满意度的调查 B.对全省中学生每周做家务时长的调查
C.对一批灯泡使用寿命的调查 D.对火星探测器各零部件质量的调查
5.如图，直，分别与直线交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=45°，则∠2的度数是（ ）
A.135° B.105° C.95° D.75°
6.OP经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是OP位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，3），则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.不能确定
8.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则与的面积之比为（ ）
A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1
9.如图，以点O为圆心的扇形AOB中，，，再以点A为圆心，OA为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且点P沿BD从点B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点N的纵坐标a的值为（ ）
图1 图2
A.6 B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.请写出一个二次根式______，使它满足只含有一个字母x，且当时有意义.
12.中国四大名著分别是《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》和《三国演义》，现将背面完全一样，正面分别写有四大名著名字的4张卡片洗匀后放在桌面上且背朝上，小明同时抽取两张，则恰好抽到《西游记》和《水浒传》这两张卡片的概率是______
13.不等式组的解集为_______
14.已知，矩形ABCD，点F在边BC上，点E在边AB上，连接CE、AF交于点G.若，，，.则______
15.如图，在中，，，点D为AB的中点，点M，N分别是边AC，BC上的动点，且，点P是MN的中点，连接BP，DP，则：
①DP的最小值为_______；
②当最大时，线段AM的长是_______.
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16.（10分）（1）计算：
（2）化简：
17.（9分）某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图；
（2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率.
18.（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值.
19.（9分）如图，在中，.
（1）尺规作图：作出经过A，B，C三点的.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交于点D，连接DB，DC.求证：.
20.（9分）拉杆箱是外出旅行的常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上.如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角；
如图2，当拉杆伸出两节（AM，MB）时，AC与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度（单位：cm，结果保留整数）.（参考数据： ， ， ， ）
21.（9分）甲、乙两名同学打羽毛球比赛.假设羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与点的水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系.
比赛中，甲同学发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的五组对应数据如下：
水平距离x/m 0 3 6 9 12
竖直高度y/m 0.8 3.05 3.8 3.05 0.8
根据以上数据，回答下列问题：
（1）求出竖直高度y与水平距离x之间满足的函数关系；
（2）若乙同学原地起跳能使球拍达到最大高度为2.3m刚好能接住羽毛球，那他想保证这次能接到甲同学的球（两人之间的水平距离得保持在5m以上），离甲同学最近的水平距离是多少.（，结果保留整数）
22.（10分）中央电视台《为您服务》节目曾播放过骗子骗小学生钱的事件，骗子打着“开发智力的速算法”招牌对学生进行口算演示：
41×49=2009 82×88=7216 73×77=5621 72×78=5616
34×36=1224 65×65=4225 56×54=3024 55×55=3025
学生觉得这种计算方法真简单，比用计算器、还要算的快.这时骗子开始推销一种《速算法》的小册子，高喊：“要得发不离八，每本二十一块八.”小学生纷纷购买，其中一位小学生向他的邻居、七年级学生小刚宣传他得到的速算法，小刚告诉他这种方法只适合两个两位数乘法，并没有宣传的那么神通广大.
（1）请你再举出两个类似上述运算式子的例子，并总结这些式子中左边两个两位数的特征.你知道小学生向小刚宣传他得到的速算法有怎样一种简便计算的规律 用自己的话叙述出来.
（2）初中学习了“字母表示数”，你能用字母表示数的方法，写出宜传的这种速算法
23.（10分）问题情境：在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将沿直线CE翻折，得到，点B的对应点落在正方形ABCD内.
（1）如图1，连接并延长，交AD边于点F.猜想线段BF与CE的数量关系并说明理由.
（2）如图2，当E是AB边的中点时，连接并延长，交CD边于点H，将沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点处，交于点M，交于点N.判断四边形的形状，并说明理由.
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的长
2024-2025学年下学期期中质量检测九年级数学试卷答案
一、选择题
1.答案：B
解析：根据绝对值的性质，，，，.因为，所以绝对值最小的是0.
2.答案：由于没有看到具体的主视图、左视图和选项图形，无法准确作答.
解析：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，需要根据主视图和左视图的形状特征来推断俯视图的形状.
3.答案：C
解析：科学记数法的表示形式为，其中，为整数.139亿=13900000000=1.39×1010.
4.答案：D
解析：全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的调查方式.A选项，对北京某旅游景点游客满意度的调查，范围广，适合抽样调查；B选项，对全省中学生每周做家务时长的调查，范围大，适合抽样调查；C选项，对一批灯泡使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查；D选项，对火星探测器各零部件质量的调查，关系到探测器的安全，必须进行全面调查.
5.答案：B
解析：因为，所以∠1的同位角等于∠1=45°.含30°角的三角尺中，与∠2相关的角的关系为∠2=180°-30°-45°=105°
6.答案：B
解析：因为，，所以，.根据勾股定理可得.因为和所对的弧都是，所以，则.
7.答案：B
解析：对于一元二次方程，其判别式.在方程中，，，，则，所以方程没有实数根.
8.答案：C
解析：通过观察网格可知与相似，相似比为.根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得与的面积之比为.
9.答案：D
解析：连接OC，AC.因为，所以是等边三角形，.扇形的面积为，扇形AOC的面积为，的面积为.则阴影部分的面积为.
10.答案：C
解析：作点C关于的对称点，连接交BD于点P，此时的值最小，即y的最小值为的长度.设正方形的边长为，则，，根据勾股定理可得，解得，所以正方形的边长为3.当点P与点B重合时，y的值最大，此时.
二、填空题
11.答案：（答案不唯一）
解析：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.中，当时，，满足只含有一个字母，且当时有意义.
12.答案：
解析：从4张卡片中同时抽取两张，所有可能的情况有种，恰好抽到《西游记》和《水浒传》这两张卡片的情况只有1种，所以概率为.
13.答案：
解析：解不等式，得，；解不等式，得，.所以不等式组的解集为.
14.答案：6
解析：过点C作交AF的延长线于点H.因为，所以，则是等腰直角三角形.通过证明，再结合已知条件，，，可求出.（具体证明过程需利用相似三角形的性质和勾股定理等知识）
15.答案：①；②4
解析：①因为点P是MN的中点，，所以.点D为AB的中点，在中，，，根据勾股定理可得，则.根据三角形三边关系，，所以DP的最小值为.
②当BP与BC垂直时，最大.此时，，所以.
三、解答题
16（1）-3（2）
17.答案：
（1）由A组人数为5人，占比10%，可得本次抽样的学生人数为5÷10%=50人.B组人数为50×30%=15人，C组人数为50-5-15-10=20人.补全条形统计图（此处略去画图过程，可根据计算结果在统计图中补充B、C组的条形图）.
（2）参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生占比为30%+40%=70%，该校九年级有600名学生，所以估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有600×70%=420人.
（3）D组有10人，其中3名女生，7名男生.列表如下：
女1 女2 女3 男1 男2 男3
女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3）
女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3）
女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男1） （女3，男2） （女3，男3）
男1 （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男1，男2） （男1，男3）
男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （男2，男1） （男2，男3）
男3 （男3，女1） （男3，女2） （男3，女3） （男3，男1） （男3，男2）
男4 （男4，女1） （男4，女2） （男4，女3） （男4，男1） （男4，男2） （男4，男3）
男5 （男5，女1） （男5，女2） （男5，女3） （男5，男1） （男5，男2） （男5，男3）
男6 （男6，女1） （男6，女2） （男6，女3） （男6，男1） （男6，男2） （男6，男3）
男7 （男7，女1） （男7，女2） （男7，女3） （男7，男1） （男7，男2） （男7，男3）
从表中可以看出，共有90种等可能的结果，其中恰好是一名女生和一名男生的结果有42种，所以抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为.
18.答案：
（1）把代入，得，所以反比例函数的解析式为.
把代入，得，所以.
把，代入，得，
解方程组得，
所以一次函数的解析式为.
（2）由图象可知，不等式的解集为或.
（3）在中，令，则，所以.
设，则.
.
.
当时，的面积最大，最大值为4，此时.
19.答案：
（1）作BC的垂直平分线，与BC相交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，则即为经过A，B，C三点的圆.（此处略去具体的尺规作图步骤，需按照垂直平分线的作法进行操作）
（2）因为AD是的直径，所以.
又因为，所以四边形ABCD是矩形，
所以，，.
在和中，，所以.
20.答案：设每节拉杆的长度为.
在图1中，A点距离地面高度为；
在图2中，A点距离地面高度为.
因为两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，
所以，
即，，，，解得.
所以每节拉杆的长度约为30cm.
21.答案：（1）把（0，0.8），（3，3.05），（6，3.8）代入，得，
解方程组得，
所以竖直高度y与水平距离x之间满足的函数关系为.
（2）当时，，即，.
根据一元二次方程求根公式，
其中，，，可得.
因为两人之间的水平距离得保持在5m以上，
（舍去），.
所以离甲同学最近的水平距离是10m.
22.答案：
（1）例子：23×27=621，91×99=9009.这些式子中左边两个两位数的特征是：十位数字相同，个位数字之和为10.简便计算规律为：十位数字乘以比它大1的数，所得结果作为积的前两位；两个数的个位数字相乘，所得结果作为积的后两位.
（2）设这两个两位数分别为和（a为十位数字，b、c为个位数字，且），则.
23.答案：
（1）.
理由：因为四边形ABCD是正方形，所以，.
由折叠可知CE垂直平分，所以.
又因为，所以.
在和中，，
所以，所以.
（2）四边形是正方形.
理由：因为E是AB边的中点，，
由折叠可知，，.
因为沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点处，
所以，，.
可证，
所以，，所以四边形是平行四边形.
又因为，所以四边形是矩形.
因为，可求出，，通过计算可得，
所以四边形是正方形.
（3）.（具体计算过程需利用正方形的性质、相似三角形的性质和勾股定理等知识，此处省略详细步骤）

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