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浙江省绍兴市新昌县部分学校2025年九年级中考一模数学模拟练习卷
1．（2025·新昌模拟）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，符合题意；
综上可知：无理数共有个.
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”并结合题意即可求解．
2．（2025·新昌模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠2，原计算错误，此选项不合题意；
B.≠a6，原计算错误，此选项不合题意；
C.，符合合并同类项法则，此选项符合题意；
D.≠8a5，原计算错误，此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
3．（2025·新昌模拟）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 52500000000 =5.25×1010；
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ | a| < 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·新昌模拟）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法.先利用等腰三角形的性质可得：，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义可得：，再进行计算可求出答案．
5．（2025·新昌模拟）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： =1，
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
6．（2025·新昌模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查圆周角定理的应用、相似三角形的性质、勾股定理.连接BC，因为AB是直径，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用角的运算可得 ∠ACE＝∠CBF， 利用垂直的定义可得： ∠AEC＝∠CFB＝90°， 利用相似三角形的判定定理可证明△ACE∽△CBF，根据相似三角形的性质定理可得，并用勾股定理求出BC的长度，代入公式可得， 据此可求出AC的长度，求出答案．
7．（2025·新昌模拟）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知：A、兔子后出发，先到了，
∴此选项不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，
∴此选项符合题意；
C、乌龟先出发后到，
∴此选项不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据乌龟早出发，早到终点并结合各图象即可判断求解.
8．（2025·新昌模拟）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；分类讨论
【解析】【解答】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故答案为：D．
【分析】由题意可分三种情况讨论：①把上面展开到左侧面上，连接，如图1；②把上面展开到正面上，连接，如图2；③把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后用勾股定理分别计算各情况下的，再比较大小即可求解．
9．（2025·新昌模拟）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，
，
，，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】设三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，即可得到，从而求出，再根据正切求出AD长解答即可．
10．（2025·新昌模拟）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
在中，
根据折叠可得，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
的面积，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质并用勾股定理求得BD的值，由折叠的性质可得AD=A D，根据线段的和差
A B=BD-A D求得AB的值，设则，在直角中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，然后用三角形面积公式计算即可求解．
11．（2025·新昌模拟）因式分解：3a2-6a=　 　．
【答案】3a（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a2-6a=3a（a-2）．
故答案为：3a（a-2）
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025·新昌模拟）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，且，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
13．（2025·新昌模拟）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下，
　
　
　
　
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
∴该点在坐标轴上的概率
故答案为：．
【分析】根据列表法可知所有等可能的情况有6种，该点刚好在坐标轴上的情况有4种，然后根据概率公式计算即可求解．
14．（2025·新昌模拟）如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：6．
【分析】根据平移的性质，求出和的长度，根据矩形的面积计算解题．
15．（2025·新昌模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是　 　．
【答案】2
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出，然后利用线段之差求得CD．
16．（2025·新昌模拟）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作交的延长线于点H，则，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，由折叠得，则，所以，在Rt△BCH中，由勾股定理可得关于AB的方程，解方程求得AB的值，然后根据线段的和差AE=AB-BE可求解.
17．（2025·新昌模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（π-1）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin60°=，由二次根式的性质可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．（2025·新昌模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，得，
解得：．
∴只要是的整数即可．
∴可以取值为（答案不唯一）
（2）解：当时，则得方程，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据可得关于m的不等式，解不等式求得的取值范围，再在范围之内确定的一个整数值，代入求得方程，解方程即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系“x1、x2是关于一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可得α+β、αβ的值，将所求代数式变形得=（α+β）2-αβ并整体代换即可求解．
（1）解：根据题意，得，
解得：．
∴只要是的整数即可．
∴可以取值为（答案不唯一）．
（2）解：当时，则得方程，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
19．（2025·新昌模拟）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若求菱形的面积．
【答案】（1）证明：因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为是中线，所以，
因为，所以，∴，
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形.
（2）解：连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为是中线，所以，
因为，所以，
因为四边形是菱形，所以菱形的面积=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质，得到，再由SAS，证得，结合直角三角形斜边中线性质，得出，证得，得出，进而证得四边形为菱形；
（2）根据平行四边形的判定方法，证得四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，结合菱形的面积公式，即可求解．
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积=．
20．（2025·新昌模拟）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．
（1）参与本次测试的学生人数为______，______．
（2）请补全条形统计图．
（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
【答案】（1）150人，
（2）∵（人），补全图形如下：
．
（3）（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
∴参与本次测试的学生人数为150人，
，
∴；
故答案为：人；30；
【分析】本题考查从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体．
（1）先利用良好60人除以其占比可求出总人数，利用优秀的45人除以总人数再乘以100%，可求出m的值；
（2）先利用总人数减去优秀，良好，不合格，可求出合格的人数，据此可补全统计图；
（3）先求出测试成绩能达到良好及以上等级的学生人数的占比，再利用5000乘以所占的比例，据此可求出该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数． ．
21．（2025·新昌模拟）设函数，函数（，，b是常数，；
（1）若函数和函数的图象交于，两点．
①求函数，的表达式．
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
【答案】（1）解：①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②＜
（2）解：由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）②如图，
由图知，当时，；
【分析】（1）①根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得函数的表达式为，再将点A代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
②画出函数图象，当函数的图象在函数的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
（1）①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②如图，
由图知，当时，；
（2）由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
22．（2025·新昌模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为12.8厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得与，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）过点作交于点E，根据两组对边分别平行的四边形和四边形是平行四边形，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米；
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米．
23．（2025·新昌模拟）二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：①依题意，，解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①代入函数解析式求出b，c的值即可；
②先得到抛物线的对称轴为直线，再分为，两种情况，根据最值列方程解题即可；
（2）把交点坐标代入可得，，把代入 求出，，然后代入整式得到关于b的二次函数，利用最值解题即可．
24．（2025·新昌模拟）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
（1）如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ；
（2）半圆O与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ．
【答案】（1）30；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，
∴为半圆O的切线．
∵为半圆O的切线，
∴，
∴．
设，
∵，
∴．
∵为半圆O的切线，
∴．
∴，即，
解得：．
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴A，M，E三点重合，
∴．
∴扇形的面积；
（4）或
【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）连接，与半圆O交于点B，
在中， ，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴点C到半圆O的最短距离为，
故答案为：30，；
（4）如图，
当与边相切于点时，，
此时，与有一个公共点，
由（2）知：；
当与边相切于点时，，
此时，与有三个公共点，
∴．
∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点，
∴；
当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点，
当经过点B时，与有三个公共点，
∵，，，
∴，
解得：．
∴当时，与有三个公共点，
∴当时，与有两个公共点，
综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，根据正弦定义可得DC，正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，根据切线判定定理可得为半圆O的切线，再根据切线性质可得，根据边之间的关系可得AN=4，设，根据勾股定理可得AD=8，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点O作于点H，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则A，M，E三点重合，再根据补角可得∠EOF，再根据扇形面积即可求出答案.
（4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论
1 / 1浙江省绍兴市新昌县部分学校2025年九年级中考一模数学模拟练习卷
1．（2025·新昌模拟）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·新昌模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·新昌模拟）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·新昌模拟）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·新昌模拟）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
6．（2025·新昌模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·新昌模拟）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·新昌模拟）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·新昌模拟）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·新昌模拟）如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
11．（2025·新昌模拟）因式分解：3a2-6a=　 　．
12．（2025·新昌模拟）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2025·新昌模拟）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　．
14．（2025·新昌模拟）如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为　 　．
15．（2025·新昌模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是　 　．
16．（2025·新昌模拟）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为　 　．
17．（2025·新昌模拟）计算：．
18．（2025·新昌模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
19．（2025·新昌模拟）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若求菱形的面积．
20．（2025·新昌模拟）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．
（1）参与本次测试的学生人数为______，______．
（2）请补全条形统计图．
（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
21．（2025·新昌模拟）设函数，函数（，，b是常数，；
（1）若函数和函数的图象交于，两点．
①求函数，的表达式．
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
22．（2025·新昌模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为12.8厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
23．（2025·新昌模拟）二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．
24．（2025·新昌模拟）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
（1）如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ；
（2）半圆O与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，符合题意；
综上可知：无理数共有个.
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”并结合题意即可求解．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠2，原计算错误，此选项不合题意；
B.≠a6，原计算错误，此选项不合题意；
C.，符合合并同类项法则，此选项符合题意；
D.≠8a5，原计算错误，此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 52500000000 =5.25×1010；
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ | a| < 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法.先利用等腰三角形的性质可得：，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义可得：，再进行计算可求出答案．
5．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： =1，
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查圆周角定理的应用、相似三角形的性质、勾股定理.连接BC，因为AB是直径，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用角的运算可得 ∠ACE＝∠CBF， 利用垂直的定义可得： ∠AEC＝∠CFB＝90°， 利用相似三角形的判定定理可证明△ACE∽△CBF，根据相似三角形的性质定理可得，并用勾股定理求出BC的长度，代入公式可得， 据此可求出AC的长度，求出答案．
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知：A、兔子后出发，先到了，
∴此选项不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，
∴此选项符合题意；
C、乌龟先出发后到，
∴此选项不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据乌龟早出发，早到终点并结合各图象即可判断求解.
8．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；分类讨论
【解析】【解答】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1，
；
把上面展开到正面上，连接，如图2，
；
把侧面展开到正面上，连接，如图3，
．
∵．
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为．
故答案为：D．
【分析】由题意可分三种情况讨论：①把上面展开到左侧面上，连接，如图1；②把上面展开到正面上，连接，如图2；③把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后用勾股定理分别计算各情况下的，再比较大小即可求解．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，
，
，，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】设三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，即可得到，从而求出，再根据正切求出AD长解答即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
在中，
根据折叠可得，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
的面积，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质并用勾股定理求得BD的值，由折叠的性质可得AD=A D，根据线段的和差
A B=BD-A D求得AB的值，设则，在直角中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，然后用三角形面积公式计算即可求解．
11．【答案】3a（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a2-6a=3a（a-2）．
故答案为：3a（a-2）
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，且，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
13．【答案】
【知识点】点的坐标；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下，
　
　
　
　
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
∴该点在坐标轴上的概率
故答案为：．
【分析】根据列表法可知所有等可能的情况有6种，该点刚好在坐标轴上的情况有4种，然后根据概率公式计算即可求解．
14．【答案】6
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：6．
【分析】根据平移的性质，求出和的长度，根据矩形的面积计算解题．
15．【答案】2
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出，然后利用线段之差求得CD．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作交的延长线于点H，则，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，由折叠得，则，所以，在Rt△BCH中，由勾股定理可得关于AB的方程，解方程求得AB的值，然后根据线段的和差AE=AB-BE可求解.
17．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（π-1）0=1，由特殊角的三角函数值可得sin60°=，由二次根式的性质可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】（1）解：根据题意，得，
解得：．
∴只要是的整数即可．
∴可以取值为（答案不唯一）
（2）解：当时，则得方程，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据可得关于m的不等式，解不等式求得的取值范围，再在范围之内确定的一个整数值，代入求得方程，解方程即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系“x1、x2是关于一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=，x1x2=”可得α+β、αβ的值，将所求代数式变形得=（α+β）2-αβ并整体代换即可求解．
（1）解：根据题意，得，
解得：．
∴只要是的整数即可．
∴可以取值为（答案不唯一）．
（2）解：当时，则得方程，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
19．【答案】（1）证明：因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为是中线，所以，
因为，所以，∴，
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形.
（2）解：连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为是中线，所以，
因为，所以，
因为四边形是菱形，所以菱形的面积=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质，得到，再由SAS，证得，结合直角三角形斜边中线性质，得出，证得，得出，进而证得四边形为菱形；
（2）根据平行四边形的判定方法，证得四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，结合菱形的面积公式，即可求解．
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积=．
20．【答案】（1）150人，
（2）∵（人），补全图形如下：
．
（3）（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
∴参与本次测试的学生人数为150人，
，
∴；
故答案为：人；30；
【分析】本题考查从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体．
（1）先利用良好60人除以其占比可求出总人数，利用优秀的45人除以总人数再乘以100%，可求出m的值；
（2）先利用总人数减去优秀，良好，不合格，可求出合格的人数，据此可补全统计图；
（3）先求出测试成绩能达到良好及以上等级的学生人数的占比，再利用5000乘以所占的比例，据此可求出该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数． ．
21．【答案】（1）解：①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②＜
（2）解：由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）②如图，
由图知，当时，；
【分析】（1）①根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得函数的表达式为，再将点A代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
②画出函数图象，当函数的图象在函数的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
（1）①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②如图，
由图知，当时，；
（2）由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
22．【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得与，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）过点作交于点E，根据两组对边分别平行的四边形和四边形是平行四边形，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米；
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米．
23．【答案】（1）解：①依题意，，解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①代入函数解析式求出b，c的值即可；
②先得到抛物线的对称轴为直线，再分为，两种情况，根据最值列方程解题即可；
（2）把交点坐标代入可得，，把代入 求出，，然后代入整式得到关于b的二次函数，利用最值解题即可．
24．【答案】（1）30；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，
∴为半圆O的切线．
∵为半圆O的切线，
∴，
∴．
设，
∵，
∴．
∵为半圆O的切线，
∴．
∴，即，
解得：．
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴A，M，E三点重合，
∴．
∴扇形的面积；
（4）或
【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）连接，与半圆O交于点B，
在中， ，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴点C到半圆O的最短距离为，
故答案为：30，；
（4）如图，
当与边相切于点时，，
此时，与有一个公共点，
由（2）知：；
当与边相切于点时，，
此时，与有三个公共点，
∴．
∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点，
∴；
当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点，
当经过点B时，与有三个公共点，
∵，，，
∴，
解得：．
∴当时，与有三个公共点，
∴当时，与有两个公共点，
综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，根据正弦定义可得DC，正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，根据切线判定定理可得为半圆O的切线，再根据切线性质可得，根据边之间的关系可得AN=4，设，根据勾股定理可得AD=8，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点O作于点H，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则A，M，E三点重合，再根据补角可得∠EOF，再根据扇形面积即可求出答案.
（4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论
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