资源简介

广东省江门市蓬江区2025年中考一模数学试题
1．（2025·蓬江模拟）下列实数中，为无理数的是（　　）．
A．0 B．3 C． D．
2．（2025·蓬江模拟）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
3．（2025·蓬江模拟）某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有76300人，76300用科学记数法可以表示为（　　）．
A． B． C． D．
4．（2025·蓬江模拟）如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·蓬江模拟）下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2025·蓬江模拟）不等式的解集为（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025·蓬江模拟）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围为（　　）．
A． B． C． D．无法判断
8．（2025·蓬江模拟）方程的解是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2025·蓬江模拟）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2025·蓬江模拟）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（　　）．
A．5 B．5.5 C．6 D．7
11．（2025·蓬江模拟）比较大小：3　 　．
12．（2025·蓬江模拟）数据1，3，4，5，5的中位数是　 　．
13．（2025·蓬江模拟）计算的结果为　 　．
14．（2025·蓬江模拟）一本书静止在斜面上，其受力分析如题图，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为　 　．
15．（2025·蓬江模拟）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为　 　．
16．（2025·蓬江模拟）计算：．
17．（2025·蓬江模拟）先化简，再求值：，其中，．
18．（2025·蓬江模拟）感知数学魅力，探索数学未来，某校为筹备数学文化节活动，计划开设A魔方、B数学华容道、C益智锁扣、D迷叠杯，共四类活动项目．为了解学生报名情况，现随机抽取了九年级部分学生进行调查，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值为__________；
（3）学生小何和小林各自从以上四类活动项目中任选一类参加活动，请利用画树状图或列表的方法，求他们选择相同项目的概率．
19．（2025·蓬江模拟）如图，是的直径，点A在上，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作平分，交于点E，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）应用与计算，在（1）条件下，求与的面积之比．
20．（2025·蓬江模拟）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用为40元，从A地到B地用电行驶纯用电费用为10元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元．
（1）求每行驶1千米纯用电的费用．
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过16元，则至少用电行驶多少千米？
21．（2025·蓬江模拟）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
（1）小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？
（2）身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，）
22．（2025·蓬江模拟）如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离．
（3）把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标．
23．（2025·蓬江模拟）已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，．
（1）如图1，已知经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，求证：直线与相切．
（2）如图2，已知直线分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线上的一个动点，以N为圆心，为半径画圆，当点N与点C重合时，直线与相切．
①求直线的解析式．
②设与直线相交于P、Q两点，连接、，请问是否存在这样的点N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、0是有理数，
∴此选项不符合题意；
B、3是有理数，
∴此选项不符合题意；
C、-3是有理数，
∴此选项不符合题意；
D、是无理数，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数及开方开不尽的数是无理数"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件，
故答案为：A．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可得：
A．它的左视图的两个长方形的长应该相等，
∴此选项不符合题意；
B．它的左视图应该是上下两层，
∴此选项不符合题意；
C．该图形是几何体的左视图，
∴此选项符合题意；
D．它的左视图应该是上下两层，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形并结合各选项即可判断求解．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，
∴此选项不符合题意；
B、因为≠-m2n2，
∴此选项不符合题意；
C、因为≠m9，
∴此选项不符合题意；
D、因为，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3m和n不是同类项， 不能合并同类项；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的解题步骤"移项，合并同类项，系数化为1"可求解．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程无实数根，
解得．
故答案为：A．
【分析】根据题意并结合一元二次方程根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解不等式即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴去分母得，
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：B.
【分析】由题意，方程两边同时乘以最简公分母x(x+2)把分式方程化为整式方程， 解整式方程求得x的值，然后检验即可求解．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接交于点，
在菱形中，，
则，，，
∴，，
则，，
∴，
阴影部分的面积
，
故答案为：A．
【分析】连接交于点，根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每一组对角”可得，，，用勾股定理求得求得BO的值，由菱形的性质得BD=2OB，AC=2OA，再根据阴影部分的面积的构成即可求解．
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，，，则，，
，，
，
，即
，
，
故选：C．
【分析】取的中点，连接，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出的值，然后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得求解．
11．【答案】
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，先求得，然后根据有理数大小的比较法则可求解．
12．【答案】4
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据1，3，4，5，5的中位数为4．
故答案为：4．
【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解．
13．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1．
故答案为：1．
【分析】根据同分母分式加减法的运算法则“同分母分式加减法，分母不变，分子相加”进行计算，即可求解．
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：将下图中的点进行命名：
根据题意得：，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】由题意，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，设，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
在中，；
故答案为：．
【分析】设，得到，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出的长，在中，用勾股定理可求解．
16．【答案】解：原式．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得cos30°=，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，由算术平方根的意义可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
17．【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】用平方差公式和多项式除以单项式法则去括号，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将代数式化简，再把、值代入化简后的代数式计算即可求解．
18．【答案】（1）解：（人），
（人）；
补全条形图如图：
（2）40
（3）解；由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：（2）
；
∴；
故答案为：40；
【分析】
（1）根据样本容量=频数×百分比求出调查的人数，根据样本容量=各小组频数之和求出类人数，补全条形图即可；
（2）根据百分比=频数÷样本容量可求出的值；
（3）列出表格，根据表格中的信息可知共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：（人），
（人）；
补全条形图如图：
（2）；
∴；
故答案为：40；
（3）由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，
∴．
19．【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠BAC=∠BDC=90°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
（1）解：由题意，作图如下：
（2）连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油费用为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，原方程的解是，且符合题意，
答：每行驶1千米纯用电的费用为元．
（2）解：由（1）知，每行驶1千米纯燃油费用为元， A地到B地的路程为千米，
设需要用电行驶y千米，
根据题意得：，
解得，
答：至少用电行驶80千米．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油费用为元，根据' 纯燃油费用40元行驶的路程= 纯用电费用10元行驶的路程”列分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（2）设需要用电行驶y千米，根据“从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过16元”列不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油费用为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，原方程的解是，且符合题意，
答：每行驶1千米纯用电的费用为元．
（2）解：由（1）知，每行驶1千米纯燃油费用为元， A地到B地的路程为千米，
设需要用电行驶y千米，
根据题意得：，
解得，
答：至少用电行驶80千米．
21．【答案】（1）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意知，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
同上，可知四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小军头部以下的高度为，且小军身高，
∴小军能被摄像头识别．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据锐角三角函数tan∠EPF=求出的值，然后根据线段的和差ME=MF+EF可求解；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上，
在中，根据锐角三角函数tan∠CPH=求出的值，同理可求得的值，然后根据线段的和差GQ=QH-GH、CQ=QH+CH分别求出、CQ的值，再计算小军头部以下的高度并比较大小即可判断求解．
（1）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意知，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
同上，可知四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小军头部以下的高度为，且小军身高，
∴小军能被摄像头识别．
22．【答案】（1）解：∵过线段的中点D作轴，
∴
∵，
∴
∴
∵点C在反比例函数于
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，
∴，
∴，二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∴，
则直线与抛物线的对称轴之间的距离为1；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，且，
∴，
此时二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∵把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，
当时，即，故，
把代入，
得，
∴．
当时，即，
把代入，
得，
∴．
综上：当时，；当时，；
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）先结合点D是线段的中点，得，结合可得，然后根据k的几何意义即可求解；
（2）把代入二次函数的解析式可求得A、B两点的坐标，根据同一坐标轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值求出AB的值，结合二次函数的对称轴求出OD的值，则直线与抛物线的对称轴之间的距离可求解；
（3）由题意，用含t的代数式表示出A、B两点的坐标，根据二次函数的对称轴为直线x=用含t的代数式表示出来，再结合把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，则当时，解之可得t的范围；将代入可将点E的坐标用含t的代数式表示出来，当时，同理可求解．
（1）解：∵过线段的中点D作轴，
∴
∵，
∴
∴
∵点C在反比例函数于
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，
∴，
∴，二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∴，
则直线与抛物线的对称轴之间的距离为1；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，且，
∴，
此时二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∵把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，
当时，即，故，
把代入，
得，
∴．
当时，即，
把代入，
得，
∴．
综上：当时，；当时，；
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）解：①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，
解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形，则，连接，，可知，则，得为等腰直角三角形，
则，，即可证得结论；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，由（1）可知，为等腰直角三角形，同时可知为等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，则，得点的坐标为，然后用待定系数法即可求解；
②由题意，用待定系数法求得直线的解析式，当点在直线，交点下方时，
由是等腰直角三角形，且，可知，即轴，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，解方程可得点N的坐标；当点在直线，交点下方时，同理可求解．
（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
1 / 1广东省江门市蓬江区2025年中考一模数学试题
1．（2025·蓬江模拟）下列实数中，为无理数的是（　　）．
A．0 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、0是有理数，
∴此选项不符合题意；
B、3是有理数，
∴此选项不符合题意；
C、-3是有理数，
∴此选项不符合题意；
D、是无理数，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数及开方开不尽的数是无理数"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·蓬江模拟）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件，
故答案为：A．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
3．（2025·蓬江模拟）某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有76300人，76300用科学记数法可以表示为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
4．（2025·蓬江模拟）如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可得：
A．它的左视图的两个长方形的长应该相等，
∴此选项不符合题意；
B．它的左视图应该是上下两层，
∴此选项不符合题意；
C．该图形是几何体的左视图，
∴此选项符合题意；
D．它的左视图应该是上下两层，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形并结合各选项即可判断求解．
5．（2025·蓬江模拟）下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，
∴此选项不符合题意；
B、因为≠-m2n2，
∴此选项不符合题意；
C、因为≠m9，
∴此选项不符合题意；
D、因为，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3m和n不是同类项， 不能合并同类项；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
6．（2025·蓬江模拟）不等式的解集为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的解题步骤"移项，合并同类项，系数化为1"可求解．
7．（2025·蓬江模拟）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围为（　　）．
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程无实数根，
解得．
故答案为：A．
【分析】根据题意并结合一元二次方程根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于c的不等式，解不等式即可判断求解．
8．（2025·蓬江模拟）方程的解是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴去分母得，
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：B.
【分析】由题意，方程两边同时乘以最简公分母x(x+2)把分式方程化为整式方程， 解整式方程求得x的值，然后检验即可求解．
9．（2025·蓬江模拟）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接交于点，
在菱形中，，
则，，，
∴，，
则，，
∴，
阴影部分的面积
，
故答案为：A．
【分析】连接交于点，根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分每一组对角”可得，，，用勾股定理求得求得BO的值，由菱形的性质得BD=2OB，AC=2OA，再根据阴影部分的面积的构成即可求解．
10．（2025·蓬江模拟）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（　　）．
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，，，则，，
，，
，
，即
，
，
故选：C．
【分析】取的中点，连接，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出的值，然后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得求解．
11．（2025·蓬江模拟）比较大小：3　 　．
【答案】
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，先求得，然后根据有理数大小的比较法则可求解．
12．（2025·蓬江模拟）数据1，3，4，5，5的中位数是　 　．
【答案】4
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据1，3，4，5，5的中位数为4．
故答案为：4．
【分析】将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解．
13．（2025·蓬江模拟）计算的结果为　 　．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1．
故答案为：1．
【分析】根据同分母分式加减法的运算法则“同分母分式加减法，分母不变，分子相加”进行计算，即可求解．
14．（2025·蓬江模拟）一本书静止在斜面上，其受力分析如题图，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：将下图中的点进行命名：
根据题意得：，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】由题意，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解．
15．（2025·蓬江模拟）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点Q处，折痕为，若点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P恰好为线段最靠近点B的一个四等分点，设，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
在中，；
故答案为：．
【分析】设，得到，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出的长，在中，用勾股定理可求解．
16．（2025·蓬江模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得cos30°=，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，由算术平方根的意义可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
17．（2025·蓬江模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】用平方差公式和多项式除以单项式法则去括号，然后根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将代数式化简，再把、值代入化简后的代数式计算即可求解．
18．（2025·蓬江模拟）感知数学魅力，探索数学未来，某校为筹备数学文化节活动，计划开设A魔方、B数学华容道、C益智锁扣、D迷叠杯，共四类活动项目．为了解学生报名情况，现随机抽取了九年级部分学生进行调查，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值为__________；
（3）学生小何和小林各自从以上四类活动项目中任选一类参加活动，请利用画树状图或列表的方法，求他们选择相同项目的概率．
【答案】（1）解：（人），
（人）；
补全条形图如图：
（2）40
（3）解；由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，
∴．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：（2）
；
∴；
故答案为：40；
【分析】
（1）根据样本容量=频数×百分比求出调查的人数，根据样本容量=各小组频数之和求出类人数，补全条形图即可；
（2）根据百分比=频数÷样本容量可求出的值；
（3）列出表格，根据表格中的信息可知共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：（人），
（人）；
补全条形图如图：
（2）；
∴；
故答案为：40；
（3）由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能得结果，其中他们选择相同项目的情况有4种，
∴．
19．（2025·蓬江模拟）如图，是的直径，点A在上，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作平分，交于点E，交于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）应用与计算，在（1）条件下，求与的面积之比．
【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠BAC=∠BDC=90°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
（1）解：由题意，作图如下：
（2）连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2025·蓬江模拟）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用为40元，从A地到B地用电行驶纯用电费用为10元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元．
（1）求每行驶1千米纯用电的费用．
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过16元，则至少用电行驶多少千米？
【答案】（1）解：设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油费用为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，原方程的解是，且符合题意，
答：每行驶1千米纯用电的费用为元．
（2）解：由（1）知，每行驶1千米纯燃油费用为元， A地到B地的路程为千米，
设需要用电行驶y千米，
根据题意得：，
解得，
答：至少用电行驶80千米．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油费用为元，根据' 纯燃油费用40元行驶的路程= 纯用电费用10元行驶的路程”列分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（2）设需要用电行驶y千米，根据“从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过16元”列不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油费用为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，原方程的解是，且符合题意，
答：每行驶1千米纯用电的费用为元．
（2）解：由（1）知，每行驶1千米纯燃油费用为元， A地到B地的路程为千米，
设需要用电行驶y千米，
根据题意得：，
解得，
答：至少用电行驶80千米．
21．（2025·蓬江模拟）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
（1）小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？
（2）身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，）
【答案】（1）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意知，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
同上，可知四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小军头部以下的高度为，且小军身高，
∴小军能被摄像头识别．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据锐角三角函数tan∠EPF=求出的值，然后根据线段的和差ME=MF+EF可求解；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上，
在中，根据锐角三角函数tan∠CPH=求出的值，同理可求得的值，然后根据线段的和差GQ=QH-GH、CQ=QH+CH分别求出、CQ的值，再计算小军头部以下的高度并比较大小即可判断求解．
（1）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意知，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
同上，可知四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小军头部以下的高度为，且小军身高，
∴小军能被摄像头识别．
22．（2025·蓬江模拟）如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离．
（3）把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标．
【答案】（1）解：∵过线段的中点D作轴，
∴
∵，
∴
∴
∵点C在反比例函数于
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，
∴，
∴，二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∴，
则直线与抛物线的对称轴之间的距离为1；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，且，
∴，
此时二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∵把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，
当时，即，故，
把代入，
得，
∴．
当时，即，
把代入，
得，
∴．
综上：当时，；当时，；
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）先结合点D是线段的中点，得，结合可得，然后根据k的几何意义即可求解；
（2）把代入二次函数的解析式可求得A、B两点的坐标，根据同一坐标轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值求出AB的值，结合二次函数的对称轴求出OD的值，则直线与抛物线的对称轴之间的距离可求解；
（3）由题意，用含t的代数式表示出A、B两点的坐标，根据二次函数的对称轴为直线x=用含t的代数式表示出来，再结合把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，则当时，解之可得t的范围；将代入可将点E的坐标用含t的代数式表示出来，当时，同理可求解．
（1）解：∵过线段的中点D作轴，
∴
∵，
∴
∴
∵点C在反比例函数于
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，
∴，
∴，二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∴，
则直线与抛物线的对称轴之间的距离为1；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，且，
∴，
此时二次函数的对称轴为直线，
∵过线段的中点D作轴，
∴，
∴，
∵把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，且，
当时，即，故，
把代入，
得，
∴．
当时，即，
把代入，
得，
∴．
综上：当时，；当时，；
23．（2025·蓬江模拟）已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点，．
（1）如图1，已知经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，求证：直线与相切．
（2）如图2，已知直线分别交x轴和y轴于点C、D，N是直线上的一个动点，以N为圆心，为半径画圆，当点N与点C重合时，直线与相切．
①求直线的解析式．
②设与直线相交于P、Q两点，连接、，请问是否存在这样的点N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）解：①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，
解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形，则，连接，，可知，则，得为等腰直角三角形，
则，，即可证得结论；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，由（1）可知，为等腰直角三角形，同时可知为等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，则，得点的坐标为，然后用待定系数法即可求解；
②由题意，用待定系数法求得直线的解析式，当点在直线，交点下方时，
由是等腰直角三角形，且，可知，即轴，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，解方程可得点N的坐标；当点在直线，交点下方时，同理可求解．
（1）证明：∵，，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
∵经过点O和点B，圆心点M在第二象限，且的直径为，
∴，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，则，
∴直线与相切；
（2）①当点N与点C重合时，直线与相切，令切点为，连接，则，
由（1）可知，为等腰直角三角形，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴点的坐标为，
将其代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为；
②存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．理由如下：
设直线的解析式为，
代入，，得，解得：
直线的解析式为，
当点在直线，交点下方时，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即轴，
设点的横坐标为，则，，
∴，
解得：，此时点的坐标为；
当点在直线，交点下方时，
同理可得，此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，使得是等腰直角三角形．
1 / 1

展开更多......

收起↑