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第二章
3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.
2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.
3.掌握共线(平行)向量基本定理,会判断或证明两个向量共线.
4.了解直线的向量表示,会证明三点共线.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　向量的数乘运算
1.向量的数乘的概念
实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:
(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;
当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;
当λ=0时,λa=0.
能使λa=0的情况还有λ∈R,a=0
(2)|λa|=|λ||a|.
这种运算称为向量的数乘.
2.向量的数乘的几何意义
如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.
3.单位向量
由向量的数乘定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是 .
名师点睛
1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加、减法运算,如λ+a,λ-a是错误的.
2.对于任意非零向量a,向量 是与向量a方向相同的单位向量.向量- 是与向量a方向相反的单位向量.
思考辨析
已知非零向量a,向量-3a与向量3a的大小和方向有什么关系
提示 向量-3a与向量3a大小相等,方向相反,互为相反向量.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)已知实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.(　　)
(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.(　　)
(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.(　　)
2.已知向量a=-2e,b= e(e为单位向量),则向量a与向量b(　　)
A.不共线　　　　　　B.方向相反
C.方向相同 D.|a|>|b|
×
√
√
故向量a与向量b共线反向.故选B.
B
知识点二　数乘运算的运算律
1.数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=(λμ)a;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).
若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.
名师点睛
1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
思考辨析
若λa=μa,能否得到λ=μ
提示 不一定.由λa=μa,得(λ-μ)a=0,若a为非零向量则λ=μ,若a为零向量则λ与μ不一定相等.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量的数乘运算不是线性运算.(　　)
(2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,则x=-2a.(　　)
(3)若λb=λa,则定有b=a.(　　)
(4)若λa-μa=0,则λ=μ.(　　)
×
√
×
×
2.将 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.2a-b B.2b-a
C.a-b D.b-a
B
3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列结论中正确的是(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na(a≠0),则m=n
ABD
解析 对于A选项,m(a-b)=ma-mb,A正确;
对于B选项,(m-n)a=ma-na,B正确;
对于C选项,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以,m=0或a=b,C错误;
对于D选项,若ma=na(a≠0),则(m-n)a=0,所以,m-n=0,即m=n,D正确.
故选ABD.
知识点三　共线(平行)向量基本定理
此条件不可缺少
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.
名师点睛
1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任意向量a共线.当b≠0时,对于任意向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.
2.已知A,B,C三点共线,O是平面内任意一点,则有 ,其中λ+μ=1.
3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.
思考辨析
共线(平行)向量基本定理中为什么规定b≠0
提示 当b=0时,显然b与a共线.
(1)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;
(2)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)|λa|=λ|a|.(　　)
(2)若a=λb,则a与b共线.(　　)
(3)若向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(　　)
(4)若a=e1-e2,b=-2e1+2e2,则向量a与b是共线向量.(　　)
×
√
×
√
2.[人教A版教材例题改编]已知任意两个非零向量a,b,试作
.求证:A,B,C三点共线.
知识点四　直线的向量表示
名师点睛
思考辨析
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线的方向向量不唯一.(　　)
√
√
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　数乘向量的定义及几何意义
【例1】 (1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
C
★(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是(　　)
B
规律方法　对向量数乘运算的三点说明
(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.
(2)向量数乘的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.
探究点二　向量的线性运算
【例2】 (1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
(2)设x,y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
规律方法　1.向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=　　　　　,b=　　　　　.
探究点三　共线向量定理及其应用
角度1.向量共线的判定
【例3】 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).
(1)a=5e1,b=-10e1;
(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.
解 (1)因为b=-2a,所以a与b共线.
(2)因为a= b,所以a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
所以(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
因为e1与e2是两个非零不共线向量,
所以1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
规律方法　向量共线的判定一般是用其判定定理,即给定一个非零向量b,若存在唯一一个实数λ,使得a=λb,则任意向量a与非零向量b共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
变式训练3已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.
证明 若e1=e2=0,则a=b=0,
所以a与b共线,即a∥b;
若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),
且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.
因为e1≠0,所以a∥b.综上可知,a∥b.
角度2.用已知向量表示未知向量
【例4】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么 =(　　)
D
规律方法　用已知向量表示未知向量的方法
变式训练4
角度3.证明三点共线问题
规律方法　1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线.两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
2.若A,B,C三点共线,则向量 在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而共线(平行)向量基本定理是实现线性关系的依据.
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
角度4.求参问题
A
C
探究点四　向量线性运算的综合应用
角度1.求解三角形的面积比
D
则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等,
又因为OC边为公共边,
所以△AOC与△BOC的面积相等.故选D.
C
角度2.解决三角形的四心问题
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
B
A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心
B
规律方法　1.三角形的内心:三角形内切圆的圆心、三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.
3.三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)向量的数乘及运算律;
(2)共线(平行)向量基本定理;
(3)三点共线的常用结论.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:(1)忽视零向量这一个特殊向量;(2)忽视共线向量基本定理中非零向量b这一必要条件.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
C
1
2
3
4
2.化简:4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　　.
10a
解析 4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
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3
4
4.[2024江苏镇江高一质检]计算:
(2)(λ+μ)(2a-b)-(3λ+5μ)(-a-3b),λ,μ∈R.
1
2
3
4
(2)原式=(λ+μ)(2a-b)-(3λ+5μ)(-a-3b)
=2(λ+μ)a-(λ+μ)b+(3λ+5μ)a+3(3λ+5μ)b
=(2λ+2μ+3λ+5μ)a+(9λ+15μ-λ-μ)b
=(5λ+7μ)a+(8λ+14μ)b.
本 课 结 束

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