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(共35张PPT)
第二章
4.1　平面向量基本定理
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解基、正交分解、标准正交基的概念,并能判断两个向量是否是平面上的一组基.
2.掌握平面向量基本定理.
3.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在　　　的一对实数λ1,λ2,使a=　　 　　.我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.
若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为　　　　　.在正交基下向量的线性表示称为　　　　　.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为　 　　　.
唯一
λ1e1+λ2e2
正交基
正交分解　
标准正交基
名师点睛
1.0不能与另外一个向量构成一组基,因为0与任一向量共线.
2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何向量都可以用这一组基唯一表示.
思考辨析
两个单位向量能作为一组基吗
提示 不共线的两个单位向量能作为一组基.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.(　　)
(2)平面向量基本定理中基的选取是唯一的.(　　)
(3)若e1,e2不共线,则2e1与3e2也可作为一组基.(　　)
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　　)
×
×
√
√
重难探究·能力素养速提升
探究点一　对平面向量基本定理的理解
【例1】 [2024北京海淀高一期末]设e1,e2是平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,不能作为一组基的是(　　)
A.e1+e2和 e1-e2
B.3e1-4e2和6e1-8e2
C.e1+2e2和2e1+e2
D.e1和e1+e2
B
解析 因为e1,e2是平面内所有向量的一组基,所以e1,e2不共线,
所以e1+e2和e1-e2不共线,e1+2e2和2e1+e2不共线,e1和e1+e2不共线,所以选项A,C,D都可以作为一组基.
因为6e1-8e2=2(3e1-4e2),
所以3e1-4e2和6e1-8e2共线,不能作为一组基.
故选B.
规律方法　平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内两个不共线的向量线性表示,且表示方法是唯一的.
变式训练1已知{a,b}是一组基,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则
x-y=　　　　　.
3
探究点二　用基表示向量
变式探究
将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值.
规律方法　用一组基表示向量的注意事项
平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基;
(2)注意平面向量基本定理的应用;
(3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的;
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.
探究点三　平面向量基本定理的应用
【例3】 在△ABC中,
规律方法　在平面几何中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若点M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:
变式训练2
A
(2)如图,在 ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若 ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　　.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)平面向量基本定理;
(2)用基表示向量;
(3)平面向量基本定理的应用.
2.方法归纳:列方程(组).
3.常见误区:必须是不共线的两个向量才能构成一组基.
学以致用·随堂检测促达标
1
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1.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的一组基
B.一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的一组基
C.零向量不可以作为基中的向量
D.一对不共线的单位向量可以作为一组基
BCD
解析 在同一平面内,任意一对不共线的非零向量都可构成表示该平面内所有向量的一组基,故A错,B正确,D正确;零向量与任一向量平行,故零向量不可以作为基中的向量,故C正确.故选BCD.
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3
4
D
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3
4
3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2,则x=　　　　　,y=　　　　　.
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本 课 结 束

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