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第二章
5.1　向量的数量积
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.了解向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量与投影数量.
3.会利用向量数量积的运算律和性质进行计算或证明.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　向量的数量积的定义
如图,已知两个非零向量a和b,作 =b,向量a与b的夹角∠AOB记为或θ(0°≤θ≤180°).
|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.
该值与3个量有关
规定零向量与任一向量的数量积为0.
当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0;
当90°<≤180°时,a·b<0;
当=0°时,a·b=|a||b|;当=180°时,a·b=-|a||b|.
名师点睛
对数量积含义的理解
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量.
(3)两个向量的数量积为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦值的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角θ的余弦值决定.
[人教A版教材习题]已知△ABC中, =b,当a·b<0或a·b=0时,试判断△ABC的形状.
思考辨析
自主诊断
[人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ= ,求a·b.
知识点二　投影
不是向量,而是一个数量,可正,可负,可为0
投影向量
2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积(如右图);
或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积.
名师点睛
1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.
2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的余弦值.
思考辨析
按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,我们可以如何借助图形分析其正负
提示
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量a在向量b方向上的投影一定是正数.(　　)
(2)向量a在向量b上的投影数量等于向量b在向量a上的投影数量.(　　)
×
×
2.按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,我们可以如何借助图形分析其具体情况
提示
知识点三　数量积的运算律与性质
1.数量积的运算律
对任意的向量a,b,c和实数λ:
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);
(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
2.数量积的性质
(1)若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos;
(2)若a,b是非零向量,则a·b=0 a⊥b;
(3)a·a=|a|2,即|a|=
(5)|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点睛
1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即若已知向量a,b,c,b≠0,a·b=b·c a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
3.常用运算公式
(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.
(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
思考辨析
在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗
提示 不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量的数量积是一个向量.(　　)
(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.(　　)
(3)(a-b)·c=a·c-b·c.(　　)
×
×
√
重难探究·能力素养速提升
探究点一　平面向量的数量积
角度1.数量积的简单计算
【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).
(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34.
规律方法　求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积运算.
角度2.几何图形中向量数量积的计算
【例2】 在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2 ,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则 =　　　　.
-1
解析 因为AD∥BC,且∠DAB=30°,所以∠ABE=30°.
因为AE=BE,所以∠EAB=30°.
所以∠AEB=120°.
所以在△AEB中,AE=BE=2.
规律方法　1.解决几何图形中向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
探究点二　投影向量与投影数量
【例3】 已知向量a,b,c,其中|a|=3,|b|=4,a与c的夹角θ=120°,b与c的夹角γ=45°.
(1)若|c|=1,求a在c方向上的投影向量;
(2)求a+b在c方向上的投影数量.
变式探究本例改为若|c|=3,求b在c方向上的投影向量和投影数量.
规律方法　(1)投影向量的求法
①向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,投影向量的方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
②向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θ
(2)投影数量:a在b方向上的投影数量为|a|cos=a·
探究点三　向量数量积运算律的综合应用
【例4】 (1)[2024四川南充高三检测]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2, = ,则a·(a+b)=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
C
(2)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解 (a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2
=62-6×4×cos 60°-6×42=-72.
变式探究若将本例(2)中条件“a与b的夹角为60°”改为“a与b的夹角为120°”,结论如何
解 (a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2
=62-6×4×cos 120°-6×42=-48.
规律方法　熟练掌握两向量的数量积的定义及运算律,是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再利用数量积的定义求解.
A.10　　B.12　　C.-10　　D.-12
A
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)向量数量积的定义;
(2)投影向量与投影数量;
(3)向量数量积的运算性质.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:(1)向量夹角共起点;(2)a·b>0 两向量夹角为锐角(易忽视零角),a·b<0 两向量夹角为钝角(易忽视平角).
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.下列说法正确的是(　　)
A.单位向量都相等
B.若a与b都是单位向量,则a·b=1
C.0·a=0
D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
C
解析 A,单位向量的模为1,但方向不一定相同,错误;B,若a与b都是单位向量,当夹角为0时a·b=1,当夹角不为0时,a·b≠1,错误;C,由向量数乘仍为向量,模扩大或缩短相应的倍数,知0·a=0,正确;D,若a与b共线,b与c共线,当b为零向量时,则a与c不一定共线,错误.故选C.
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
3.[2024广东珠海高三期末]已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·(a+b)=-1,则|a+2b|=(　　)
B
1
2
3
4
5
4.已知|b|=3,向量a在向量b方向上的投影数量为 ,则a·b=　　　　　　.
1
2
3
4
5
5.已知|a|=3,|b|=2,且a,b的夹角为60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),那么m的值为　　　　　.
解析 由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,
即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0,
3m×32+(5m-3)×3×2×cos 60°-5×22=0,
本 课 结 束

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