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第二章
5.2　向量数量积的坐标表示　5.3　利用数量积计算长度与角度
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标表示求数量积、模和夹角.
2.掌握向量垂直条件的坐标表示,并能灵活运用.
3.会利用数量积计算长度与角度.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　向量数量积的坐标表示
数量积的坐标表示:已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=　　　　,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
名师点睛
数量积的坐标形式的推导
在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j.
因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0,
所以a·b=x1x2+y1y2.
x1x2+y1y2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.(　　)
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1y2-x2y1=0.(　　)
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件为x1y1-x2y2=0.(　　)
2.[苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b).
×
×
×
解 因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,
a2=22+(-1)2=5,
b2=32+(-2)2=13,
所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.
知识点二　向量的模与夹角的坐标表示
2.两向量的夹角公式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则
a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2,
特别地,a⊥b 　　　　　　　　　　.
x1x2+y1y2=0
名师点睛
投影数量的坐标表示
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若A(1,0),B(0,-1),则
(2)若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2=0,则向量a与b的夹角为0°.(　　)
(3)若向量a=(1,0),b ,则|a|=|b|.(　　)
√
×
×
2.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).
(1)试计算a·b及|a+b|的值;
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
解 (1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1),
b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),
a·b=4×1+3×(-1)=1,a+b=(1,-1)+(4,3)=(5,2),
(2)设=θ,由a·b=|a||b|cos θ,
重难探究·能力素养速提升
探究点一　数量积的坐标运算
角度1.数量积的基础坐标运算
【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c).
解 (1)a·(a-b)=a·a-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
角度2.数量积的坐标运算在几何图形中的应用
【例2】 在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且
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规律方法　数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
变式训练1已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
B
探究点二　利用坐标运算解决模的问题
【例3】 已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
规律方法　1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则|a|2=a·a=x2+y2,于是有
2.与已知向量垂直或平行的单位向量
变式训练2 (1)若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为(　　)
C
★(2)[2024天津西青高一检测]已知向量a=(m,1),b=(4,m),若a与b方向相反,则|a+b|=(　　)
B
探究点三　利用坐标运算解决夹角与垂直问题
【例4】 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
解 (1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.
故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.
规律方法　解决向量夹角问题的方法及注意事项
探究点四　向量的坐标运算在平面几何中的应用
【例5】 (1)[2024河北石家庄高一期中]已知正方形ABCD的边长为6,
A.-6 B.-5 C.-4 D.-3
A
(2)如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明D,M,B三点共线.
证明 如图,以点E为坐标原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
规律方法　向量几何法和坐标法是解决此类问题的基本方法,在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊图形中,建立直角坐标系,转化为坐标运算较为简单.
变式训练3(1)已知点A(4,3)和B(1,2),O为坐标原点,求 (t∈R)的最小值.
(2)已知在直角三角形ABC中,A为直角,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,求 的取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)平面向量数量积的坐标表示;
(2)a⊥b x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量);
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:两个向量夹角的余弦公式易记错;a⊥b与a∥b的坐标形式的充要条件易混淆.
学以致用·随堂检测促达标
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2
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1.已知a=(3,4),b=(-2,-1),则(a-b)·(a+2b)等于(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
A
解析 (a-b)·(a+2b)=(5,5)·(-1,2)=-1×5+2×5=5.
1
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3
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2.已知向量a=(4,6),-a+b=(1,2),则|b|=(　　)
D
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2
3
4
5
3.已知向量a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为(　　)
B
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4
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4.[2024浙江嘉兴高一期末]已知向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,则a·b=(　　)
A.14 B.-14 C.50 D.-50
C
解析 因为向量a=(6,-8),b=(3,m),a∥b,
所以6m+24=0,解得m=-4,
a·b=18-8m=18-8×(-4)=50.
故选C.
1
2
3
4
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5.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k的值为　　　　　.
3
解析 ∵a=(k,3),b=(1,4),∴2a-3b=(2k-3,-6).
又(2a-3b)⊥c,
∴(2a-3b)·c=0,
即(2k-3)×2+(-6)×1=0,解得k=3.
本 课 结 束

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