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第二章
6.1　第1课时　余弦定理
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握余弦定理及其变形.
2.掌握余弦定理的证明过程.
3.能够利用余弦定理解决有关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　余弦定理及其变形
1.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
2.余弦定理的变形
名师点睛
1.对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.
(2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求三角形的第三边.实际上,若已知其中的任意三个量,都可以求出第四个量.
2.余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,则cos C=0,于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.
设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则
a2+b2a2+b2=c2 △ABC是直角三角形,且角C为直角;
a2+b2>c2 △ABC是锐角三角形,且角C为锐角.
3.对余弦定理的变形的理解
(1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形.
(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.
(3)应用余弦定理的变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角.
(4)余弦定理及其变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
思考辨析
在边长为5,7,8的三角形中,如何求出最大角与最小角的和
提示 设中间角为θ,由于8>7>5,故角θ的对边长为7,由余弦定理,得
cos θ= .所以θ=60°,故最大角与最小角的和为180°-60°
=120°.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.(　　)
(2)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一.(　　)
(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角.(　　)
(4)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角.(　　)
(5)在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则△ABC为锐角三角形.(　　)
√
×
√
×
×
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2= ac,则角B的值
为(　　)
A
3.[人教A版教材习题]在△ABC中,已知a=5,b=2,C= ,求c.
知识点二　三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
S△ABC= aha=　　　　=　　　　.
2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则
S△ABC= absin C=　　 　=　　 　　.
名师点睛
三角形面积公式的其他形式
思考辨析
在△ABC中,已知b=1,c=2,△ABC的面积为 ,试求角A的度数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)求三角形的面积时,每条边都可以作为底.(　　)
(2)直角三角形只要已知斜边就能求出面积.(　　)
(3)已知三角形的三边不能求出三角形的面积.(　　)
2.在△ABC中,已知b=1,c=2,A=150°,则△ABC的面积为　　　　　.
√
×
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　已知两边及一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2 ,A=30°,求a;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A,角C和边a.
规律方法　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.
变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tan B= ,则AC=　　　.
(2)在△ABC中,cos A= ,a=4,b=3,则c=　　　.
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探究点二　已知三边解三角形
变式探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为 ”,求其最大角与最小角之和.
规律方法　已知三角形的三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的变形求出两个角;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
变式训练2设a+1,a+2,a+3是钝角三角形的三边长,则a的取值可能是(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
C
解析 由题意知,a+1,a+2,a+3是钝角三角形的三边长,且满足a+1设边a+3所对的角为A,
即(a+1)2+(a+2)2-(a+3)2<0,整理得a2-4<0,解得-2综上可得,0故选C.
探究点三　利用余弦定理判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中,若acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC的形状.
解 由余弦定理可得
等式两边同乘2abc得
a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),
整理化简得a4+b4-2a2b2=c4,所以(a2-b2)2=c4.
因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2.
即a2=b2+c2或b2=a2+c2,故△ABC为直角三角形.
规律方法　1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
(1)△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
(2)△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形 a2+b2(4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= .
变式训练3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B +abcos C,则△ABC是　　　三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
直角
探究点四　有关三角形的面积问题
【例4】 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC面积的最大值.
规律方法　1.求解三角形面积的公式较多,
2.解三角形时应注意对三角形解的个数的讨论,防止遗漏.
变式训练4在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)余弦定理;
(2)余弦定理解决的两类解三角形问题;
(3)余弦定理的简单应用.
2.方法归纳:化归转化、数形结合.
3.常见误区:不能正确定位余弦定理解决的两类问题;易忽视三角形中的隐含条件.
学以致用·随堂检测促达标
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1.在△ABC中,若aA.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
B
解析 因为c2因为a所以△ABC为锐角三角形.
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2.在△ABC中,a=2,c=3,B=60°,那么b等于(　　)
B
解析 由余弦定理得b2=22+32-2×2×3×cos 60°=7所以b= .
故选B.
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3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为(　　)
C
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4.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b), q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为　　　　　　.
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5.[2024上海松江高二质检]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2acos C,试判断△ABC的形状.
解 因为b=2acos C,
所以a2+b2-c2=b2,
即a2=c2,所以a=c,
所以△ABC为等腰三角形.
本 课 结 束

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