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第二章
第2课时　正弦定理
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握正弦定理及其变形.
2.了解正弦定理的证明方法.
3.能运用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
名师点睛
对正弦定理的理解
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦值的连等式.
(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对角的正弦值之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
思考辨析
在△ABC中,已知a>b,那么A与B有何关系 sin A与sin B呢
提示 根据大边对大角可知A>B,根据正弦定理可知sin A>sin B.
自主诊断
[人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+ ,解这个三角形.
解 由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°.
由正弦定理,得
知识点二　正弦定理的拓展
1.正弦定理与三角形外接圆的关系
以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则
利用此等式可进行边角转化
2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A.
变式4:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
名师点睛
思考辨析
正弦定理主要解决哪几类三角形问题
提示 (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
自主诊断
在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.
知识点三　三角形解的个数
1.已知三角形的两角及一边,根据正弦定理,有且只有一解.
2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
用“边a去堵角A的敞口”来理解更为形象
类型 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 absin A 两解
a=bsin A 一解
a名师点睛
在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
思考辨析
已知三角形的两边及其中一边的对角,一定有解吗 如果不一定,可能有几个解
提示 不一定有解,解的个数可能为0,1,2,不可能有3个或3个以上的解.
自主诊断
不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a=5,b=4,A=120°;
(2)a=7,b=14,A=150°;
(3)a=9,b=10,A=60°.
解(1)因为A=120°为钝角,a=5>b=4,
所以三角形有一解.
(2)因为A=150°为钝角,a=7所以三角形无解.
(3)因为a=60°为锐角,a=9,b=10,bsin A=10× ,所以b>a>bsin A,所以三角形有两解.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　已知两角和一边解三角形
解 因为B=30°,C=105°,
所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
规律方法　已知两角及一边解三角形的方法
(1)若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
探究点二　已知两边和其中一边的对角解三角形
【例2】 在△ABC中,已知下列条件,解三角形:
变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一的锐角.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
变式训练2已知下列两组三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,若有,解三角形.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2 ,b=6,A=30°.

∵A=30°,a∴本题有两解.
探究点三　判断三角形的形状
【例3】 (1)在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形状为(　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
C
解析 因为sin2A+2sin2B=sin2C,
所以由正弦定理得a2+2b2=c2,
则a2+b2-c2=-b2<0,
故cos C<0,且C∈(0,π),
所以C为钝角,△ABC为钝角三角形.故选C.
(2)在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
规律方法　判断三角形的形状,就是根据题目条件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:
(1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin A,b=2Rsin B, c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径);②
(2)化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有:
变式训练3在△ABC中,已知3b=2 asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
D
又角A是锐角,所以A=60°.
又cos B=cos C,且B,C都为三角形的内角,
所以B=C.
故△ABC为等边三角形,故选D.
探究点四　不解三角形判断三角形解的个数
【例4】 满足条件a=4,b=3 ,A=45°的三角形有(　　)
A.1个 B.2个
C.无数个 D.0个
B
规律方法　已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
(1)当A为锐角时,
①a②a=bsin A,一个解;
③bsin A④a≥b,一个解.
(2)当A为直角或钝角时,
①a>b,一个解;
②a≤b,无解.
求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的关系进行判断.
变式训练4在△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈(　　)
D
解析 由B=45°,a=1,三角形有一解,
则b=asin B=sin 45°= ,或b≥a=1,故选D.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)正弦定理;
(2)正弦定理的变形推论及边角转化;
(3)利用正弦定理解三角形.
2.方法归纳:化归转化、数形结合、分类讨论.
3.常见误区:(1)已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.(2)易忽视三角形中角的隐含条件限制.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,b=4 ,c=2,C=30°,那么此三角形(　　)
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
C
1
2
3
4
5
3.在△ABC中,AC=2 ,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A.12π B.8π C.16π D.4π
D
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
本 课 结 束