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第二章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
易错易混·衔接高考
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一　向量的线性运算
1.向量的线性运算包括平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算,以及平面向量基本定理、共线(平行)向量基本定理,主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数问题.
2.向量是一个有“形”的几何量,因此在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,特别是平行四边形法则和三角形法则的应用.
【例1】 (1)已知向量a=(2,1),b=(-3,4),则2a-b等于(　　)
A.(7,-2) B.(1,-2)
C.(1,-3) D.(7,2)
A
解析 ∵a=(2,1),b=(-3,4),
∴2a-b=2(2,1)-(-3,4)=(4,2)-(-3,4)=(7,-2).
规律方法　向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.
B
专题二　向量的数量积运算
1.平面向量的数量积是向量的核心内容,重点是数量积的运算,利用向量的数量积判断两向量平行、垂直,求两向量的夹角,计算向量的长度等.
2.通过向量的数量积运算,有助于提升逻辑推理和数学运算能力.
规律方法　(1)向量数量积的两种计算方法
①当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos θ;
②当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(2)利用向量数量积可以解决以下问题:
①设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a∥b x1y2-x2y1=0,
a⊥b x1x2+y1y2=0(a,b均为非零向量);
②求向量的夹角和模的问题,
变式训练2已知平面向量a,b满足|a|= ,|b|=1.
(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值;
(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.
(2)设a与b的夹角为φ,φ∈[0,π].
由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,
即x2b2+2xa·b-2a·b-b2≥0,
专题三　数形结合思想的应用
“数形结合”就是借助图形、符号和文字所作的示意图,它能促进形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征,它是解决问题时常用的方法.在解决平面向量的实际问题时,结合题目情景,可将问题抽象出一个几何图形(一般利用三角形、平行四边形、矩形为主),可以直观形象地反映问题中的元素和量的关系,有助于提升学生的直观想象的思维能力.
【例3】 已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论一定正确的是(　)
A.向量a+b与a-b垂直 B.向量a-b与a垂直
C.向量a+b与a垂直 D.向量a+b与a-b共线
A
规律方法　通过本题可以得出:模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直.以上可以作为结论记住.
变式训练3已知非零向量a,b,且|a|=|b|=|a+b|.求:
(1)a与b的夹角;
(2)b与a-b的夹角.
专题四　平面向量在几何、物理中的应用
1.向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
【例4】 [2024浙江杭州高二质检]如图,点P,Q分别是矩形ABCD的边DC,BC上的点,AB=2,AD= .
变式训练4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度.
专题五　余弦定理、正弦定理与解三角形
1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形,判断三角形的形状、求三角形的面积以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用.
2.借助解三角形,有助于提升逻辑推理和数学运算能力.
【例5】 在△ABC中,A=60°,c= a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
规律方法　1.通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2Rsin A,a2+b2-c2 =2abcos C等),利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如在△ABC中,sin A=sin B A=B;sin(A-B)=0 A=B;sin 2A=sin 2B A=B或A+B= 等.
变式训练5[人教A版教材习题]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+ asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,则△ABC的面积为 ,求b,c.
专题六　余弦定理、正弦定理的实际应用
1.余弦定理和正弦定理在实际生活中,有着非常广泛的应用,常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解此类问题,关键是根据题意画出示意图,将问题抽象为三角形的模型,然后利用定理求解.注意隐含条件和最后的还原检验.
2.将生活中的实际问题转化为三角形模型,有助于提升逻辑推理和数学建模能力.
规律方法　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意,弄清已知元素和未知元素,根据题意画出示意图.
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义,如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题,利用学过的几何知识,作出辅助线,将已知与未知元素归结到同一个三角形中,然后解此三角形.
(4)在选择关系时,一是力求简便,二是要尽可能使用题目中的原有数据,尽量减少计算中误差的积累.
变式训练6某大厦是某市最高的标志性建筑.某学习小组要完成两个实习作业:验证某地图软件测距的正确性及测算该大厦的高度.如图1,在一水平路面上有两点A,B,其中 指向正西方向,首先利用地图测距功能测出AB长度为2 km,接着在另一水平路面上选定可直接测距的C,D两点,测得∠BCA=30°,∠ACD=45°,∠BDC=60°,∠ADB=30°,学习小组根据上述条件计算出CD长度,并将其与CD的实际长度2.84 km进行比较,若误差介于-20米~20米之间,则认为地图测距是正确的.
图1
图2
易错易混·衔接高考
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1.[2024新高考Ⅰ,3]已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),
∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.
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2.[2024北京,5]已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
A
解析 若“a=b或a=-b”,则a+b=0或a-b=0,故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故选A.
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3.[2024新高考Ⅱ,3]已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　)
B
解析 由|a|=1,得a2=1,由|a+2b|=2,得a2+4a·b+4b2=4.
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4.[2024上海,5]已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k=　　　　　.
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本 课 结 束

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