资源简介

(共48张PPT)
第四章
1.1　基本关系式　1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值　
1.3　综合应用
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握同角三角函数的基本关系.
2.能利用同角三角函数的基本关系进行求值、化简与证明.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　三角函数的基本关系
如图,任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(cos α,sin α),点P到坐标原点O的距离为1,所以sin2α+cos2α=　　　　.
角α是任意的
1
另外,由正切函数的定义,有tan α= 　　　　,这两个关系式是同角三角函数的基本关系式.
其中α≠kπ+ (k∈Z)
名师点睛
1.“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关.
2.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系.
3.sin2α与sin α2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sin α的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的.
4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种:
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;
(3)sin α=cos αtan α;(4)cos α=
(5)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
思考辨析
1.设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,
x=cos α, =tan α.能否根据x,y的关系得到sin α,cos α,tan α的关系
提示 可以,由x2+y2=1,得cos2α+sin2α=1.
2.式子sin 22 023+cos 22 023=1正确吗
提示 在等式sin 2x+cos 2x=1中x∈R,
所以sin22 023+cos22 023=1正确.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin2α+cos2β=1.(　　)
×
√
×
×
×
√
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　简单的三角函数求值问题
【例1】 (1)若sin α=- ,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值;
(2)若cos α= ,求tan α的值;
规律方法　1.(1)已知sin θ,求cos θ,tan θ,常用以下方式求解:
(2)已知cos θ,求sin θ,tan θ,常用以下方式求解:
(3)已知tan θ,求sin θ,cos θ,常用以下方法求解:
2.(1)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能位于的象限,再分类求解;
(2)利用平方关系时,应根据角θ的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号.
B
C
探究点二　关于sin α,cos α的齐次式的求值
规律方法　1.若待求分式的分子、分母都是含有sin α,cos α的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cos α的若干次方,将其转化为关于tan α的表达式,比如:
2.若一个式子是关于sin α与cos α的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解.
比如:asin2α+bsin αcos α+ccos2α
变式训练2已知2cos2α-3sin αcos α= ,求tan α.
探究点三　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ间的关系求值
【例3】 [2024江苏无锡高一期末](1)已知tan α是关于x的方程2x2+x-1=0的一个实根,且α是第一象限角,求3sin2α-sin αcos α+2cos2α的值.
规律方法　1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sin θ±cos θ)2=
1±2sin θcos θ,因此sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值.
2.在求解sin α±cos α的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sin α±cos α的正负,判定的方法有:(1)根据sin αcos α的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断.
变式训练3[2024上海普陀高二期中]已知sin α和cos α是关于x方程2x2+4kx+3k=0的两个实根.
(1)求实数k的值;
(2)若α∈(0,π),求cos α-sin α的值.
探究点四　三角函数的化简与求值
规律方法　1.三角函数式的化简方法
三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下:
(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;
(2)尽量使分母不含三角函数式;
(3)根式内的三角函数式尽量开出来;
(4)能求得数值的应计算出来.
注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形.
2.(1)化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
探究点五　证明三角恒等式
规律方法　三角恒等式的证明方法
证明三角恒等式,实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子,通过巧妙变形后消除差异,使其左右两端相等.为了达到这个目的,我们经常采用以下的策略和方法:
(1)从一边开始,证明它等于另一边;
(2)证明左右两边都等于同一个式子;
(3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)同角三角函数的基本关系式;
(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明;
(3)sin α±cos α型求值问题;
(4)齐次式问题.
2.方法归纳:转化法(化切求值)、整体代换法.
3.常见误区:求值时注意α的范围,如果无法确定,一定要对α所在的象限进行分类讨论.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
A.sin 50°-cos 50° B.sin 50°+cos 50°
C.cos 50°-sin 50° D.-sin 50°-cos 50°
A
1
2
3
4
5
B
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
本 课 结 束

展开更多......

收起↑