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第四章
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.能利用三角函数的定义与向量知识推导出两角和与差的余弦公式.
2.掌握两角和与差的余弦公式,能够运用公式解决相关问题.
3.体会公式运用中一般与特殊的转化关系.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　两角差的余弦公式
如图,设角α,β的终边与单位圆的交点分别记为P,Q.此时,点P和点Q的坐标分别为(cos α,sin α)和(cos β,sin β).
如果0≤α-β≤π,由于向量 和向量 都是单位向量,它们的夹角是α-β,根据向量数量积的定义知, =cos(α-β),再利用向量的坐标表示,得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
所以对于任意角α,β来说,上述结论仍然成立.这样,就得到了两角差的余弦公式:cos(α-β)=　　　　　　　　　　　　　,记作Cα-β.
cos αcos β+sin αsin β
思考辨析
如何逆用公式,化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
提示 化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos [(α+β)-α]=cos β.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos α-cos β.(　　)
(3)cos 54°cos 24°+cos 36°sin 24°=cos 30°.(　　)
×
×
√
知识点二　两角和的余弦公式
这里用的是加法和减法运算的联系.因为Cα-β中对任意α,β都成立,所以把其中的β换成-β也一定成立
因为α+β=α-(-β),所以由公式Cα-β,得cos(α+β)=cos[α-(-β)]
=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=　　　　　 　　　　.
这就是两角和的余弦公式,记作Cα+β.
cos αcos β-sin αsin β
名师点睛
公式中的角α,β是任意的,要注意公式的逆用、变形应用.两角和的余弦值等于两角的余弦之积减去正弦之积.
名称 公式 简记符号 条件
两角和的余弦 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β Cα+β α,β∈R
两角差的余弦 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β Cα-β 思考辨析
在cos(α±β)的公式中,α,β可以是几个角的组合吗
提示 可以.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)不存在角α,β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β.(　　)
(2)对于任意角α,β,总有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β.(　　)
(3)对于任意角α,β,总有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.(　　)
×
×
√
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　利用两角和与差的余弦公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:
(1)cos(-375°);
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°;
(3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°
=cos(75°-15°)=cos 60°= .
(3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α=cos [(α+45°)-α]=cos 45°= .
规律方法　利用公式Cα-β求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值.在转化过程中,要充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.
变式训练1求值:
(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°;
(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).
解 (1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°
=sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°)
=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
=cos(44°-14°)=cos 30°= .
(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)
=cos [(θ+70°)-(θ+10°)]=cos 60°= .
探究点二　利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题
【例2】 已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点
(1)求sin α的值;
(2)若锐角β满足sin β= ,求cos(α+β)的值.
规律方法　给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
探究点三　利用两角和与差的余弦公式解决给值求角问题
规律方法　解决三角函数给值求角问题的方法步骤
(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某种三角函数值,最好选取在上述范围内单调的三角函数;
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
B
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)两角和与差的余弦公式的推导;
(2)给角求值,给值求值,给值求角.
2.方法归纳:构造法.
3.常见误区:(1)公式中符号易弄反;(2)求角时易忽视角的范围.
学以致用·随堂检测促达标
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1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)的值为(　　)
B
解析 原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos 60°= .
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A
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本 课 结 束

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