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(共41张PPT)
第四章
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.能够推导出两角和与差的正弦、正切公式.
2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题.
基础落实·必备知识一遍过
α,β∈R
=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin[α+(-β)]
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
从而可得两角和与差的正弦公式,记作Sα±β.
sin(α+β)=　　　　　　　　　.(Sα+β)
sin(α-β)=　　　　　　　　　.(Sα-β)
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
名师点睛
1.两角和与差的正弦公式的结构特征
2.两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正,符号相同”.
思考辨析
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立.(　　)
(2)对于任意角α,β,总有sin(α+β)=sin α-sin β成立.(　　)
(3)存在角α,β,使得sin(α+β)=sin α-sin β 成立.(　　)
×
×
√
√
2.[人教A版教材习题改编]sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°=　 　.
1
知识点二　两角和与差的正切公式
角α,β,α+β的终边不能在y轴上
分子、分母同除以cos αcos β(当cos α·cos β≠0时),得到两角和与差的正切公式,记作Tα+β,同理可得Tα-β.
tan(α+β)=　　　 　　　　　.(Tα+β)
tan(α-β)=　　　 　　　　　.(Tα-β)
名师点睛
1.在两角和与差的正切公式中,α,β,α+β,α-β均不等于kπ+ (k∈Z).
2.公式的结构特征及符号特征如下:
(1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β 的差或和.
(2)
符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.
思考辨析
已知A+B=135°,试探求(1+tan A)·(1+tan B)的值.
提示 (1+tan A)(1+tan B)
=1+(tan A+tan B)+tan Atan B
=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B
=1+1-tan Atan B+tan Atan B
=2.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　)
√
×
√
2.在△ABC中,已知tan B,tan C是关于x的一元二次方程mx2-x+m+ =0的两个实根,则A=　　　　　.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　利用两角和与差的正弦、正切公式化简与求值
【例1】 化简下列各式:
(1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°;
(3)tan 23°+tan 37°+ tan 23°tan 37°;
(4)(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)·(1+tan 24°).
(4)因为(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2.
同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,所以原式=2×2=4.
规律方法　1.公式的巧妙运用:一是正用,如本题中的(2);二是逆用;三是变用,变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin αsin β=cos αcos β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+ sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会
变式训练1化简下列各式:
(1)sin 15°+sin 75°;
(4)sin(α+β)cos α- [sin(2α+β)-sin β].
解 (1)sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°
=2sin 45°cos 30°= .
探究点二　两角和与差的正弦、正切公式的综合应用
角度1.给值求值问题
(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值;
(3)求tan α的值.
规律方法　给值求值的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
D
0
角度2.给值求角问题
(1)求证:sin αcos β=-5cos αsin β;
(2)求sin αcos β的值;
(3)求α+β的值.
规律方法　根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定.一般地,若θ∈(0,π),则通常求cos θ;若θ∈ ,则通常求sin θ,否则容易导致增解.
变式训练3已知tan(α-β)=-7,cos α=- ,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求α+β的值.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)两角和与差的正弦、正切公式的推导;
(2)给角求值、给值求值、给值求角;
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:构造法、转化法.
3.常见误区:(1)公式中加减符号易记错;(2)求值或求角时忽视角的范围.
学以致用·随堂检测促达标
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1.sin 35°cos 5°-cos 35°sin 5°=(　　)
A. B.1
C.2 D.2sin 40°
A
解析 sin 35°cos 5°-cos 35°sin 5°=sin(35°-5°)=sin 30°= .
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A
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A
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4.计算:tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°=　　　　　.
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本 课 结 束

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