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限时训练4
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面平面是平面外两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知球O的半径，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为，总平均体重为，则女生的平均体重约为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．在中，内角的对边分别是，满足，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．直线与平面所成角的正切值为
C．平面与平面的夹角为
D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题
7．已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为 ．
四、解答题
8．已知中，角所对的边分别是，其中，．
(1)求的外接圆半径；
(2)求周长的最大值．
9．某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知高二（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为．甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响．
(1)甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率．
10．如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一点，点在棱上，是三棱柱，分别是线段的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)若四棱锥的体积为，求的长度．
《限时训练4》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C C B ACD ABD
1．由题意可得：，所以．故选：C．
2．对于A，若，平面平面是平面外的直线，故，A正确，对于B，若，平面平面则，故B正确，对于C，若，则或者相交或者异面，故C错误，
对于D，若，平面平面，则，故D正确，故选：C
3．依题意，所以，即，两边平方整理得，，解得（舍去）或，则．所以该圆锥的体积为．故选：C．
4．由题意可知：高二（1）班有24名女生，有16名男生，设女生的平均体重为，则，解得．故选：B．
5．因为，所以，由正弦定理，得，所以，故A正确；因为，所以是等腰三角形，所以，故B错误；由得，又因为，
所以，即，得，因为A是三角形内角，所以，故C正确；由余弦定理得，整理得，
解得（舍去）或，故D正确．故选：ACD．
6．选项A：因为在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，所以
面面所以又面所以面，面，所以，正确；
选项B：连结交于,连结则为直线与平面所成角，
设正方体边长为，则正切值为正确.
选项C：延长交于其中连结取中点设为则面，
因为面和面所以为面和面的交线，
则过作连结则为平面与平面的夹角的平面角.
在中，设正方体边长为则在中，由余弦定理则错误.
选项D：取的中点设为Q,连结则为异面直线和的夹角，在中，正确.故选：ABD.
7．由余弦定理可得，即，整理可得，解得（舍负），则，所以的面积为．故答案为：.
8．（1）依题意，解得，故的外接圆半径．
（2）由（1）知，，由余弦定理，，
因为，则，则，当且仅当时，等号成立，
故，所以周长的最大值为．
9．（1）记事件表示“甲在第一场比赛中胜出”，事件表示“甲在第二场比赛中胜出”，
事件表示“乙在第一场比赛中胜出”，事件表示“乙在第二场比赛中胜出”，
于是表示甲赢得比赛”， ，表示“乙赢得比赛”， ，而有，所以甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，由（1）知，则表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且，所以
．所以甲，乙两人中至少有一人赢得比赛的概率为.
10．1）在正方体中，平面，分别是棱的中点，，则平面，又平面，，由题意知，由勾股定理得，，即，又，平面
平面
（2）由（1）知，平面，又平面，，
由题意知，所以四边形的面积为，由四棱锥的体积为，得，所以四棱锥的高为，即点到平面的距离为.连接，易知三点共线，过点作的垂线交于点，即，由平面，得平面，又平面，，
又，平面，平面，即为四棱锥的高，
，，，，
，即.
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