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第四章
2.4　积化和差与和差化积公式
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.熟记积化和差与和差化积公式.
2.能运用积化和差与和差化积公式求解数学问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　三角函数的积化和差公式
余乘余是余加余的一半,正乘正是余减余的负一半;
正乘余是正加正的一半,余乘正是正减正的一半
cos αcos β=　　　　　　　　　　　;
sin αsin β=　　　　　　　　　　　　;
sin αcos β=　　　　　　　　　　　　;
cos αsin β=　　　　　　　　　　　　.
名师点睛
积化和差公式可以将两个三角函数的积化为另两个三角函数的和乘常数的形式.
思考辨析
积化和差与和差化积公式中的α,β的取值范围是什么
提示 α∈R,β∈R.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin 37.5°cos 7.5°=12[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)].(　　)
(2)sin xsin y= [cos(x-y)+cos(x+y)].(　　)
(3)cos(A+B)cos(A-B)=cos 2A+cos 2B.(　　)
√
×
×
知识点二　三角函数的和差化积公式
和差化积口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩;
正减正,余在前,余减余,负正弦
从积化和差的4个公式可以得出
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β;
sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β;
cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β;
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β,
这样,上面得出的四个式子可以写成
sin x+sin y=　　　　　　　　;
sin x-sin y=　　　　　　　　;
cos x+cos y=　　　　　　　　;
cos x-cos y=　　　　　　　　.
名师点睛
这四个公式叫作和差化积公式,利用它们和其他三角函数关系式,可以把某些三角函数的和与差化成积的形式.
思考辨析
如何把cos x+ 化为积的形式
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin 3θ-sin 5θ=- cos 4θcos θ.(　　)
(2)cos(A+B)-cos(A-B)=2cos Acos B.(　　)
(3)sin(A-B)+sin(A+B)=2sin Acos B.(　　)
×
×
√
重难探究·能力素养速提升
探究点一　积化和差公式的运用
【例1】 把下列各式化成和或差的形式.
(1)2sin 64°cos 10°;
(2)sin 80°cos 132°;
(4)sin 2sin 1.
解 (1)2sin 64°cos 10°=sin(64°+10°)+sin(64°-10°)
=sin 74°+sin 54°.
规律方法　积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式.需要注意三角函数名称的变化规律.
D
探究点二　和差化积公式的运用
【例2】 把下列各式化成积的形式.
(1)cos 3x+cos x;
(2)cos 40°-cos 52°;
(3)sin 15°+sin 35°;
(4)sin 6x-sin 2x.
变式训练2把下列各式化成积的形式.
(1)cos 8+cos 2;
(2)cos 100°-cos 20°;
(3)sin 40°+sin 150°;
(4)sin(x+2)-sin x.
探究点三　积化和差、和差化积公式的综合应用
规律方法　1.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证.
2.△ABC中注意隐含条件A+B+C=π的应用,常用关系式有sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C等.
变式训练3若△ABC的三个内角A,B,C满足cos 2A-cos 2B=2sin2C,试判断△ABC的形状.
解 ∵cos 2A-cos 2B=2sin2C,
∴-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2[π-(A+B)],
∴-sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B).
∵在△ABC中,sin(A+B)≠0,
∴sin(A-B)+sin(A+B)=0,即2sin Acos B=0.
又sin A≠0,∴cos B=0,∴B= ,
∴△ABC为直角三角形.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)积化和差公式;
(2)和差化积公式.
2.方法归纳:公式法、整体代换.
3.常见误区:(1)公式中符号易混淆;(2)公式中系数易弄错.
学以致用·随堂检测促达标
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2
3
4
5
1.2sin 50°cos 10°=(　　)
B
解析 2sin 50°cos 10°=sin(50°+10°)+sin(50°-10°)=sin 60°+sin 40°
= +sin 40°.
1
2
3
4
5
A.sin 15°sin 10° B.-sin 50°sin 10°
C.sin 50°cos 10° D.-sin 50°cos 10°
C
1
2
3
4
5
3.有下列关系式:①sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ;②cos 3θ-cos 5θ=
-2sin 4θsin θ;③cos 5θ+cos 3θ=2cos 4θcos θ,其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析 sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,故①错误;cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ) =2sin 4θsin θ,故②错误;③正确.
1
2
3
4
5
4.cos 160°-cos 40°+2 sin 20°cos 80°=　　　　　.
1
2
3
4
5
5.4cos 50°-tan 40°=　　　　　.
本 课 结 束

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