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(共48张PPT)
第四章
3.1　二倍角公式
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握二倍角公式及其推导过程.
2.灵活运用二倍角公式与和角、差角公式解决求值、化简和证明问题.
3.体会二倍角公式与和角、差角公式的内在联系.
4.能综合运用三角函数公式解决综合问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　二倍角的正弦、余弦和正切公式
三角函数 公式 简记
正弦 sin 2α=　 　　　 S2α
余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=　　　　= 　 C2α
正切 tan 2α=　　　　 T2α
2sin αcos α
2cos2α-1　
1-2sin2α　
名师点睛
1.二倍角公式中S2α,C2α对任意角α均成立,但在T2α中,需
思考辨析
在公式tan 2α= 中,α有何限制条件
提示 2α和α必须都满足角的终边不能在y轴上.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
√
√
×
√
2.[人教A版教材例题]已知 ,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　利用二倍角公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:
(2)1-2sin2750°;
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°= .
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- .
规律方法　对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
变式训练1求下列各式的值:
探究点二　利用二倍角公式解决条件求值问题
(1)求tan 2x的值;
规律方法　解决条件求值问题的方法
给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
A
探究点三　利用二倍角公式解决化简与证明问题
【例3】 (1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
规律方法　1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
探究点四　二倍角公式在三角函数中的应用
(1)求f(x)的最小正周期;
规律方法　要研究三角函数的周期性、单调区间、值域等性质,就必须要把函数解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,因此,化简函数解析式是研究性质的前提.而化简解析式时,需要用到各种三角函数公式,例如,同角的三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式及倍角公式,特别是当解析式的次数不是1时,经常用倍角公式及其变形进行降幂,然后用其他相关公式化简.
变式训练4[人教A版教材习题]已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈ 时,求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.
探究点五　二倍角公式在实际问题中的应用
【例5】 如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少
(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D的位置,使步行小路的距离最远
规律方法　三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角恒等变换来解决;实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上,故常用三角函数模型解决实际的优化问题.
变式训练5等腰三角形一个底角的余弦值为 ,那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　　.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)二倍角公式的推导;
(2)掌握二倍角公式的正用、逆用和变形用,并能进行化简、求值和证明.
2.方法归纳:转化法、整体代换法.
3.常见误区:(1)化简求值开根号时;(2)忽视角的范围.
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本 课 结 束

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