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(共45张PPT)
第四章
习题课　三角恒等变换的综合应用
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.熟记常用的三角恒等变换公式.
2.能利用三角恒等变换公式进行求值、化简或证明.
3.能利用三角恒等变换公式对复杂函数加以转化,进而研究函数的性质.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　两角的和与差的正弦、余弦、正切公式
1.cos(α±β)=　　　　　　　　　　.
2.sin(α±β)=　　　　　　　　　.
3.tan(α±β)=　　　　　　　　　.
cos αcos β sin αsin β
sin αcos β±cos αsin β
思考辨析
三角恒等变换的核心是什么
提示 角的变换是三角变换的核心.
自主诊断
知识点二　二倍角公式
1.sin 2α=　　　　　.
2.cos 2α=　　　　　　=　　　　=1-2sin2α.
3.tan 2α=　　　　　　.
名师点睛
在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范围,正切无意义的角是不能套用公式的.
2sin αcos α
cos2α-sin2α
2cos2α-1
自主诊断
A
2.已知tan α= ,则sin 2α 的值为(　　)
B
知识点三　半角公式
名师点睛
在半角公式中,公式中的“正负号”由半角所在象限来确定,当不能确定时,要保留“正负号”.
自主诊断
1.cos(-15°)的值为(　　)
C
D
知识点四　有关公式的逆用及变形
1.tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
3.三角函数的叠加公式
asin x+bcos x=　　　　 　 　　.
名师点睛
上述三角函数的叠加公式中的φ满足tan φ= ,φ所在象限由a,b的符号确定,且满足条件的φ有无数个.
自主诊断
C
2.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x
B
A
重难探究·能力素养速提升
探究点一　三角函数求值
【例1】 (1)已知tan α=2,则sin 2α的值是(　　)
B
规律方法　三角函数求值的主要类型
1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函数的值.这类求值问题的关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
3.“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
变式训练1 (1)已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为　　　　　.
3
探究点二　三角函数的化简
规律方法　三角函数化简的原则、目标及技巧
(1)三角函数式化简的基本原则
①切化弦.
②异名化同名.
③异角化同角.
④高次降幂.
⑤分式通分.
⑥无理化有理.
⑦常数的处理(特别注意“1”的代换).
(2)三角函数式化简的目标
①次数尽可能低.
②角尽可能少.
③三角函数名称尽可能统一.
④项数尽可能少.
(3)三角函数式化简的基本技巧
①sin α,cos α→凑倍角公式.
②1±cos α→升幂公式.
变式训练2化简:
探究点三　三角函数的证明
规律方法　关于三角恒等式的证明,常用的方法有:(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;(2)左右归一法,即证明左、右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异;(4)比较法,设法证明“左边-右边=0”或“左边∶右边=1”.
探究点四　三角恒等变换在解决三角函数性质中的运用
(3)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并判断奇偶性.
规律方法　与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种情形:
(1)以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
(2)以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)三角变换公式及其内在关系;
(2)三角恒等变换的综合问题;
(3)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:(1)公式中的符号和系数;(2)实际问题中的定义域.
学以致用·随堂检测促达标
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B
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2.已知函数f(x)=sin x-cos x,x∈R,则此函数f(x)的最大值为　　　　　.
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3.若cos(75°+α)= ,则sin(60°+2α)=　　　　　.
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4.[2024福建福州高一月考]如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,且OA⊥OB.
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本 课 结 束

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