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第四章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
易错易混·衔接高考
知识网络·整合构建
三角恒等变换
三角恒等变换
专题突破·素养提升
专题一　三角函数求值
1.三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值、给值求值、给值
求角.
2.通过三角函数求值,提升学生的数学运算能力.
B
★(2)已知-π规律方法　给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值;给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系,合理进行拆角、凑角;给值求角实质是给值求值,先求角的某一三角函数值,再确定角的范围,从而求出角.
变式训练1(1)[2024江苏徐州高一期末]已知α∈ ,且2+3sin α=cos 2α,则α=　　 　　.
专题二　三角函数式的化简与证明
1.本章涉及的公式有两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,同角三角函数基本关系式,熟记公式是解答化简与证明题的基础.
2.通过解决三角函数式的化简与证明问题,提升学生的数学运算和逻辑推理能力.
规律方法　三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等,化简的结果应做到项数尽可能少,次数尽可能低,函数名尽量统一.
三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左),一般由繁向简;从两边向中间,左右归一法;作差证明,证明“左边-右边=0”;左右分子、分母交叉相乘,证明差值为0.对于给定信息的证明或探索题要注意知识的迁移和运用.
变式训练2阅读下面材料:根据两角和与差的正弦公式,有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,①
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.③
(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:
(2)求值:sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论).
(1)证明 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,②
①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β.③
专题三　三角恒等变换与函数、向量的综合运用
1.向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题,是常考的一种重要题型,多是中档题.它通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,再进一步研究其性质.
2.通过解决此类问题,有利于提升学生数学运算能力.
【例3】 如图,带有坐标系的单位圆O中,设∠AOx=α,∠BOx=β,
∠AOB=α-β,利用单位圆、向量知识证明:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
规律方法　研究三角函数的性质时,当问题以向量为载体时,一般是通过向量运算,将问题转化为三角函数形式,再运用三角恒等变换如降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简求解.
变式训练3已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= .
(1)求cos(α-β)的值;
易错易混·衔接高考
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1.[2024新高考Ⅰ,4]已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A
解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
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2.[2024全国甲,文14]函数f(x)=sin x- cos x在[0,π]上的最大值是　　　　　.
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3.[2024新高考Ⅱ,13]已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,
tan αtan β= +1,则sin(α+β)=　　　　　.
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本 课 结 束

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