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(共38张PPT)
第五章
1.1　复数的概念
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.
2.理解复数的有关概念及其代数形式.
3.掌握复数相等的充要条件及其应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　复数的概念
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的　　　　,记作Re z,b称为复数z的虚部,记作Im z.

不要误认为虚部为bi,虚部是一个实数
对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作纯虚数.
名师点睛
因为i2=-1,所以虚数单位i实质是-1的一个平方根,当然i也可看做是方程x2=-1的一个根.
实部
思考辨析
1.两个复数一定能比较大小吗

2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗
提示 不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小.
提示 不是,对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,b∈R的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)a是复数z=a+bi的实部.(　　)
(2)复数i-i2的虚部为1.(　　)
(3)若a,b为实数,则z=a+bi的虚部为bi.(　　)
(4)复数i的实部不存在,虚部为0.(　　)
×
√
×
×
C
知识点二　复数的分类
根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类:
全体复数构成的集合称为复数集,记作C,显然R C.
名师点睛
1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有b∈R,且b≠0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数.
2.若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(b∈R,且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).
3.复数分类的集合表示如右图所示.
4.正整数集N+,自然数集N,整数集Z,有理数集Q,
实数集R,复数集C的关系为N+ N Z Q R C.
思考辨析
虚数和纯虚数有什么区别和联系
提示 纯虚数是一类特殊的虚数,其实部为0.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.(　　)
(2)z=bi(b∈R)是纯虚数.(　　)
(3)实数集与虚数集的交集是{0}.(　　)
(4)虚数集与实数集的交集为空集.(　　)
×
×
×
√
2.[人教A版教材习题]指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
知识点三　复数相等的充要条件
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等
两个虚数只有等与不等关系,没有大小关系
定义为:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
名师点睛
两个复数不一定能比较大小
1.若两个复数全是实数,则可以比较大小;反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数.
2.当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等或不相等.
3.根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).
思考辨析
应用复数相等的充要条件时,应注意什么
提示 应先将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.(　)
(2)两个复数一定不能比较大小.(　　)
√
×
2.若2x-1+(y+1)i=x-y-(x+y)i,则x+2y=　　　　　.
-1
重难探究·能力素养速提升
探究点一　对复数相关概念的理解
【例1】 (多选)下列说法中,错误的是(　　)
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2n
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a∈R,且a≠0,则(a+3)i是纯虚数
ABD
解析 A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.
D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.
规律方法　判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系.
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同.
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.
变式训练1下列说法:①若n∈R,则(n+1)i是纯虚数;②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;③实数集是复数集的真子集.其中正确说法的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
B
解析 对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.对于①,若n=-1,则(n+1)i不是纯虚数,故①错误;对于②,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0,不是纯虚数,故②错误;显然,③正确.故选B.
探究点二　复数分类及其应用
【例2】 [人教A版教材例题]当实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解析 由复数的定义知A正确;当a∈R,且b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C错误;a+i与b+i不能比较大小,故D错误.
规律方法　利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解.
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解.
(3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0,且b≠0.
变式训练2已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,
(1)z为实数 (2)z为虚数 (3)z为纯虚数
探究点三　复数相等的充要条件及其应用
【例3】 (1)已知实数x,y满足x2-y2+2xyi=2i,则x+y的值为　　　　　.
2或-2
(2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,则实数m的值为　　　　,方程的实根x为　　　　.
变式探究若将本例(2)中的方程改为“x2+mx+2xi=-1-mi”,如何求解
规律方法　复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的充要条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)数系的扩充;
(2)复数的概念;
(3)复数的分类;
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳:分类讨论、方程思想.
3.常见误区:未化成z=a+bi(a,b∈R)的形式就急于下结论.
学以致用·随堂检测促达标
1
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4
1.下列命题中正确的是(　　)
A.若a∈R,则ai为纯虚数
B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i
C.两个虚数不能比较大小
D.x+yi的实部、虚部分别为x,y
C
解析 当a=0时,0i=0,故A不正确;虚数不能比较大小,故B不正确,C正确;x+yi中未标注x,y∈R,故若x,y为复数,则x+yi的实部、虚部未必是x,y,D不正确.
5
1
2
3
4
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是(　)
C
5
1
2
3
4
3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值可以为(　　)
A.-1 B.2 C.1 D.-2
C
解析 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,所以m2-m-2≠0,且m2-1=0,解得m=1.
5
1
2
3
4
5
4.已知M={2,m2-2m+(m2+m-2)i},N={-1,2,4i},若M∪N=N,则实数m的值为　　　　　.
1或2
解析 ∵M∪N=N,∴M N,
∴m2-2m+(m2+m-2)i=-1或m2-2m+(m2+m-2)i=4i.
解得m=1或m=2.
1
2
3
4
5
5.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,如果z是纯虚数,求m的值.
本 课 结 束

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