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第五章
3.1　复数的三角表示式　3.2　复数乘除运算的几何意义
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.
3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　复数的三角表示式
这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的　　　　　　　　,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.
当z=r(cos θ+isin θ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍.
三角表示式
为确定起见,将满足条件0≤θ<2π的辐角值,称为　　　　　　,记作arg z,即0≤arg z<2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.

非零复数的辐角不唯一,辐角的主值唯一
辐角的主值
名师点睛
1.复数的三角形式的特征:
(1)模r≥0.
(2)括号内需满足:前余弦,后正弦,角相同.
(3)cos θ与isin θ之间用加号连结.
简单地说,复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.不符合条件的都不是三角形式.
2.在复数的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但为了简单起见,复数的代数形式化为三角形式时,一般将θ写成主值.
思考辨析
1.复数0的辐角是多少,辐角主值是多少

2.把一个复数表示成三角形式时,辐角θ一定要取主值吗
提示 0的辐角是任意角,辐角主值是[0,2π)内任一角.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
×
×
×
×
×
2.[人教A版教材习题]将下列复数表示成三角形式:
解(1)6=6(cos 0+isin 0).
知识点二　复数三角形式的乘法法则与几何意义
1.复数乘法运算的三角表示
r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
两个复数相乘,积的模等于它们的模的　　　,积的辐角等于它们辐角的　　　.
简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加.
积
和
2.复数乘法运算的几何意义
θ2>0,逆时针;θ2<0,顺时针
思考辨析
一个复数对应的向量无论顺时针旋转,还是逆时针旋转90°,得到的向量对应的复数一致吗
提示 不一致,根据复数乘法的几何意义可知,所得到的向量对应的复数与旋转方向有关.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(2)若arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)=α+β.(　　)
√
×
2.把复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.a-bi B.-a+bi
C.b-ai D.-b+ai
C
解析 按顺时针旋转90°,即将复数与cos(-90°)+isin(-90°)相乘,
∴所求复数为(a+bi)·(-i)=b-ai.
知识点三　复数三角形式的除法法则与几何意义
1.复数除法运算的三角表示
两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　　　　.
简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减.
差
2.复数除法运算的几何意义
θ2>0,顺时针;θ2<0,逆时针
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
√
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　复数的三角形式
【例1】 将下列复数表示成三角形式(辐角取主值).
(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+ i.
(2)因为r=8,cos θ=1,sin θ=0,所以θ=0,所以8=8(cos 0+isin 0).
规律方法　复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤
(2)由tan θ= 及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角主值即可);
(3)写出复数的三角形式.
变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式(辐角取主值),三角形式的表示成代数形式.
(1)-1;
解 (1)因为r=1,cos θ=-1,sin θ=0,所以θ=π,于是-1=cos π+isin π.
探究点二　复数三角形式的乘法运算
【例2】 计算下列各式:
(3)(cos 36°+isin 36°)5.
解 (1)原式=21(cos π+isin π)=-21.
(3)原式=cos(5×36°)+isin(5×36°)=cos 180°+isin 180°=-1.
规律方法　两个复数三角形式乘法的法则可简记为,模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:
(1)有限个复数相乘,结论亦成立.
即z1·z2·…·zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)·…·rn(cos θn+isin θn) =r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].
(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos θ +isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.
变式训练2计算下列各式:
(2)3(cos 18°+isin 18°)·2(cos 54°+isin 54°)·5(cos 108°+isin 108°);
(2)原式=3×2×5[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+54°+108°)]
=30(cos 180°+isin 180°)=-30.
探究点三　复数三角形式的除法运算
解 原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]
=9(cos 360°+isin 360°)=9.
规律方法　进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除等于商的模,用被除数辐角减去除数的辐角等于商的辐角,即可得两个复数的除法结果.
探究点四　复数乘除法运算的几何意义
【例4】 已知复数乘法(x+yi)(cos θ+isin θ)(x,y∈R,i为虚数单位)的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针方向旋转θ角,则将点(6,4)绕原点逆时针方向旋转 得到的点的坐标为　 　　　　.
解析 复数乘法(x+yi)(cos θ+isin θ)(x,y∈R,i为虚数单位)的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点(x,y)绕原点逆时针方向旋转θ角,则将点(6,4)绕原点逆时针方向旋转 得到的点的对应的复数为
变式探究若将条件“逆时针方向”改为“顺时针方向”,其结果如何
规律方法　逆时针方向旋转与复数的乘法的几何意义相对应;顺时针方向旋转与复数的除法的几何意义相对应.可简记为“逆乘顺除”四个字.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)复数的三角形式及复数的代数形式与三角形式的互化;
(2)复数在三角形式下的乘法、除法运算;
(3)复数在三角形式下的乘法、除法运算的几何意义.
2.方法归纳:转化与化归、数形结合.
3.常见误区:(1)辐角和辐角主值容易混淆;(2)若arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)不一定为α+β,arg( )不一定为α-β.
学以致用·随堂检测促达标
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1.复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角主值是(　　)
A.80° B.100° C.190° D.260°
C
解析 z=-sin 100°+icos 100°=cos(90°+100°)+isin(90°+100°),
故arg z=190°.
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3.已知z=cos 15°-isin 15°,则z3+z-3=　　　　.
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本 课 结 束

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