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第六章
3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时　关于平面的3个基本事实和推论
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.通过长方体这一常见的几何体,体会点、直线、平面之间的位置关系.
2.会用数学符号表示点、线、面的位置关系.
3.掌握平面的基本性质(3个基本事实和3个推论),并能应用其解决点、线、面位置关系的判断和共点、共线、共面等问题的证明.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　点、直线、平面之间的关系
类型 位置关系 图形表示 符号表示
点与直线的位置关系 点B在直线a上 B∈a
点A在直线a外 　　
点与平面的位置关系 点A在平面α内 　　
点B在平面α外 B α
A a
A∈α
类型 位置关系 图形表示 符号表示
直线与直线的位置关系 即不平行又不相交的两条直线在空间中存在,在平面几何中不存在 相交 a∩b=O
不相交 或 　 　
a∩b=
类型 位置关系 图形表示 符号表示
直线与平面的位置关系 直线在平面内 a α
直线与平面相交 a∩α=A
直线与平面平行 　　
a∥α
类型 位置关系 图形表示 符号表示
平面与平面的位置关系 平面与平面平行 　　
平面与平面相交 α∩β=a
α∥β
名师点睛
1.在用符号语言表示点、线、面的关系时,要分清是属于元素和集合的关系,还是集合之间的关系,一般点看成元素,线和面看成点的集合.
2.直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线在平面外,即
3.点、线的位置关系用图示表示时可以用平面衬托,线面或面面位置关系的图示表示时要注意线的虚实,被遮挡的要画成虚线或不画.
思考辨析
根据图示,你能用符号语言写出哪些点、线、面的位置关系
提示 由图形可知,α∩β=m,n α,m∩n=A.
自主诊断
把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A α,a α　　　　　.
(2)α∩β=a,P α,且P β　　　　　.
(3)a∩α=A　　　　　.
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O　　　　　.
C
D
A
B
知识点二　平面的基本性质及其推论
1.平面的基本性质
基本事实 内容 图形表示 符号表示
基本事实1 过不在一条直线上的 　　　　　　,有且只有一个平面 　　　　唯一性 若A,B,C三点不共线,则存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本事实2 如果一条直线上的 　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l α
三个点
两个点
基本事实 内容 图形表示 符号表示
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 　　　　　条过该点的公共直线 　唯一性 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l,其中l表示一条直线
一
2.三个推论
推论 内容 图形表示
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面
推论2 两条相交直线确定一个平面

推论3 两条平行直线确定一个平面

名师点睛
三个基本事实的作用
(1)基本事实1:①确定一个平面;②判断两个平面重合;③证明点、线共面.
(2)基本事实2:①判断直线是否在平面内,点是否在平面内;②用直线检验
平面.
(3)基本事实3:①判断两个平面相交;②证明点共线;③证明线共点.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.(　　)
(3)空间不同的三点确定一个平面.(　　)
(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
×
×
×
×
2.[人教A版教材习题]下列命题正确的是(　　)
A.三点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.圆心和圆上两点可确定一个平面
D.梯形可确定一个平面
D
解析 A错误,因为三点可能共线,也可能不共线;B错误,因为点可能在直线上,也可能不在直线上;C错误,因为圆上两点可能是直径的端点,此时三点共线.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
【例1】 (1)若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系用符号可以记作　　　　　　　　.
A∈b,b β,A∈β
(2)用符号表示下列语句,并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外;
②直线a经过平面α内一点A,α外一点B;
③直线a在平面α内,也在平面β内.
解①A∈α,A β.(如图①)
②a∩α=A,B α,B∈a.(如图②)
③α∩β=a.(如图③)
规律方法　三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
变式训练1用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
解 (1)用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
(2)用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,如图.
探究点二　证明点、线共面
【例2】 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.
解 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:(方法一)纳入平面法
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又l2 α,所以B∈α.
同理可证C∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
(方法二)辅助平面法
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2 α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
变式探究把本例中的“不过同一点”删掉呢 这三条直线是否共面
解 ①不一定共面.
若三条直线两两相交,且过同一个点.
这三条直线在同一个平面内相交,如图.
这三条直线不共面.如图.
②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由本例可知,这三条直线共面.
规律方法　证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.
注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.
探究点三　证明点共线
【例3】 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.
求证:P,Q,R三点共线.
证明 (方法一)因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,
所以P,Q,R三点共线.
(方法二)因为AP∩AR=A,
所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC 平面APR.
因为Q∈BC,所以Q∈平面APR.又Q∈α,
所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线.
规律方法　点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
变式训练2
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.
证明 因为MN∩EF=Q,
所以Q∈直线MN,Q∈直线EF,
又因为M∈直线CD,N∈直线AB,CD 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以M,N∈平面ABCD,
所以MN 平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理,可得EF 平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
探究点四　证明线共点
【例4】 如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a, γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.
证明 因为α∩γ=b,β∩γ=a,所以a γ,b γ.
因为直线a和b不平行,所以a,b必相交.
如图所示,设a∩b=P,
则P∈a,P∈b.
因为a β,b α,所以P∈β,P∈α.
又α∩β=c,所以P∈c,即交线c经过点P.
所以a,b,c三条直线必过同一点.
规律方法　证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
变式训练3如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
因为HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,所以EH,FG共面,且与FG不平行.
因为O∈EH,EH 平面ABD,所以O∈平面ABD,
因为O∈FG,FG 平面BCD,所以O∈平面BCD.
因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD,
所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)点、线、面之间的位置关系;
(2)空间点、线、面位置关系的公理及推论.
2.方法归纳:同一法、纳入法.
3.常见误区:三种语言的相互转换(符号语言,图形语言,文字语言).
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.(多选)下列命题中错误的是(　　)
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
ACD
解析 对于A:若空间中三点共线,则无法确定平面,故A错误;
对于B:三角形一定是平面图形,故B正确;
对于C:若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则此四点可能在平面α与平面β的交线上,无法确定平面α和平面β是否重合,故C错误;
对于D:四条边都相等的四边形可能是空间四边形,故D错误.
1
2
3
4
5
2.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　)
A.A a,a α,B∈α
B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α
D.A∈a,a∈α,B∈α
B
1
2
3
4
5
3.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　.
P∈DE
解析 因为P∈AB,AB 平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈DE.
1
2
3
4
5
4.经过同一条直线上的3个点的平面有　　　　　个.
无数
1
2
3
4
5
5.若l1∥l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内.
证明 因为l1∥l2,
所以l1,l2确定一个平面记为α.
因为l1∩l3=C,所以C∈l1.
因为l1 α,所以C∈α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.因为l2 α,所以B∈α.
因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α,即l1,l2,l3在同一平面内.
本 课 结 束

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