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第六章
4.1　直线与平面平行
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解直线与平面平行的性质定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.
2.理解直线与平面平行的判定定理的含义,并能用图形语言、文字语言、符号语言进行描述.
3.能运用直线与平面平行的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的平行问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面　　　　,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与　　　　　　
符号语言 l∥α　　　　　　　　　　 l∥a
概括为:“由线面平行得出线线平行”
图形语言
平行
交线平行
l β,α∩β=a
名师点睛
正确理解线面平行的性质定理
(1)直线与平面平行的性质定理中有三个条件:①直线l和平面α平行,即l∥α;②平面α,β相交,即α∩β=a;③直线l在平面β内,即l β.这三个条件缺一不可.
(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.
(3)在应用线面平行的性质定理时,往往会出现这样的易错点:“a∥β,b β,所以a∥b”,所以在应用时要谨慎.
(4)线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用.先通过线线平行找出线面平行,再通过线面平行推出线线平行.其关系可用以下关系链表示:
思考辨析
如果l∥α,那么直线l与平面α内的直线的位置关系是怎样的
提示 平行或异面.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线a与平面α不平行,则a与α相交.(　　)
(2)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.(　　)
(3)若直线l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(　)
2.[人教A版教材习题]若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是(　　)
A.α内的所有直线都与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
×
×
×
D
知识点二　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与　　 　　　　　　　,那么该直线与此平面平行
符号语言
图形语言
此平面内的一条直线平行
名师点睛
1.线面平行的判定定理的条件可概括为“面外一条直线,面内一条直线,两直线平行”.该定理的作用是判定或证明直线与平面平行.
2.线面平行的判定定理要注意和线面平行的定义区分,定义是从有无公共点的角度描述的,而判定定理是借助线线平行刻画线面平行,将原问题进行了降维处理,两者都能进行线面平行的证明,但大多条件下用判定定理进行线面平行的证明.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α.(　　)
(2)若直线a在平面α外,则a∥α.(　　)
(3)若直线a∥b,b α,则a∥α.(　　)
(4)若直线a∥b,b α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线.(　　)
2.[人教A版教材习题]如果直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线(　　)
A.只有一条,不在平面α内 B.有无数条,不一定在α内
C.只有一条,且在平面α内 D.有无数条,一定在α内
×
×
×
√
C
重难探究·能力素养速提升
探究点一　对两个定理的理解
角度1.对线面平行性质定理的理解
【例1】 下列说法正确的是(　　)
①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①②④
D
解析 由线面平行的性质定理知①④正确;由直线与平面平行的定义知②正确;经过直线外一点可作一直线与已知直线平行,故可作无数个平面与已知直线平行,故③错误.故选D.
规律方法　1.一条直线和一个平面平行,它和平面内无数条直线平行,这无数条直线相互平行.
2.一条直线和一个平面平行,则它和平面内的直线平行或异面.
3.过直线外一点有无数个平面与已知直线平行,这些平面的交线与已知直线平行.
4.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行,这些直线共面,且和已知平面平行.
角度2.对线面平行判定定理的理解
【例2】 已知直线b,平面α,有以下条件:
①b与α内一条直线平行;
②b与α内所有直线都没有公共点;
③b与α无公共点;
④b不在α内,且与α内的一条直线平行.
其中能推出b∥α的条件有　　　　　.(把你认为正确的序号都填上)
②③④
解析 ①中b可能在α内,不符合;②和③是直线与平面平行的定义,④是直线与平面平行的判定定理,都能推出b∥α.
规律方法　解决此类问题要注意:
(1)把握住判定定理.(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析.
变式训练1点E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,则这个四面体的六条棱中,与平面EFGH平行的条数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
C
解析 如图所示,四面体的棱中与平面EFGH平行的直线有AC与BD.
探究点二　直线与平面平行的性质定理的应用
【例3】 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.
证明 因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理,可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
变式探究若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
解 由例3知,四边形MNPQ是平行四边形,
因为AB⊥CD,
所以PQ⊥QM,所以四边形MNPQ是矩形.
因为BP∶PD=1∶1,所以PQ=5,QM=4,
所以四边形MNPQ的面积为5×4=20.
规律方法　1.利用线面平行的性质定理解题的步骤
2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
变式训练2如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则直线GH与AB的位置关系
是(　　)
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
A
解析 由长方体性质知,EF∥平面ABCD.因为EF 平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,所以EF∥GH.又因为E,F分别是棱A1A,B1B的中点,所以EF∥AB,所以GH∥AB.故选A.
探究点三　直线与平面平行的判定定理的应用
【例4】 (1)如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(　　)
A.相交 B.b∥α C.b α D.b∥α或b α
D
解析 由a∥b,且a∥α,知b∥α或b α.
(2)如图所示,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点,求证:MF∥平面ABCD.
证明 (方法一)连接AC,BD交于点O,再连接OM,如图所示,则OM∥D1D,且OM= D1D.
因为AF= A1A,AA1∥DD1,且AA1=DD1,所以OM∥AF,且OM=AF,
所以四边形MOAF是平行四边形,所以MF∥OA.
又OA 平面ABCD,MF 平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.
(方法二)如图所示,连接D1F并延长交DA的延长线于点E,连接BE,
在△D1DE中,
因为AF∥DD1,且AF= DD1,所以F是D1E的中点,
所以FM是△BED1的中位线,所以FM∥BE.
因为BE 平面ABCD,MF 平面ABCD,
所以MF∥平面ABCD.
规律方法　1.证明线面平行的关键是证明线线平行,通常利用平行四边形、中位线、平行公理等来证明,辅助线要根据题中所给点的位置关系来确定.
2.直线与平面平行的判定定理的应用步骤:
其中,在平面α内的直线是关键,它要么是已经存在,需要被发现或找到,要么是在图形中还未出现,需要作出.
变式训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,PC中点,求证:EF∥平面PAD.
证明 取PD的中点G,连接FG,AG.
因为PF=CF,PG=DG,
所以FG∥CD,且FG= CD.
又因为四边形ABCD是平行四边形,且E是AB的中点.
所以AE∥CD,且AE= CD.
所以FG∥AE,且FG=AE,
所以四边形EFGA是平行四边形,所以EF∥AG.
又因为EF 平面PAD,AG 平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
探究点四　线面平行性质定理与判定定理的综合应用
【例5】 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
解 已知:a,l是直线,α,β是平面.
a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.
证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A l.
因为a∥α,所以A a.
故点A和直线a确定一个平面γ,
设γ∩α=m.
同理,在平面β内任取一点B,且使B l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.
因为a∥α,a γ,γ∩α=m,所以a∥m.
同理a∥n,则m∥n.
又m β,n β,所以m∥β.
因为m α,α∩β=l,所以m∥l.又a∥m,所以a∥l.
变式探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.
解 三条直线l,m,n相互平行,证明如下.如图,因为l∥m,m γ,l γ,
所以l∥γ.
又l α,α∩γ=n,所以l∥n.
又l∥m,所以m∥n,即直线l,m,n相互平行.
规律方法　利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:
变式训练4如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2a,E为AB上一点.将B点沿线段EC折起至点P,连接PA,PC,PD,取PD的中点F,若有AF∥平面PEC,试确定E点的位置并证明你的结论.
解 E为AB的中点.证明如下:
取PC的中点G,连接GE,GF.
由题可得,GF∥CD,EA∥CD,∴GF∥EA,
∴G,E,A,F四点共面.
∵AF∥平面PEC,AF 平面PEC,平面AFGE∩平面PEC=EG,
∴FA∥GE,∴四边形GEAF为平行四边形,∴EA=GF.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)直线与平面平行的性质定理;
(2)直线与平面平行的判定定理.
2.方法归纳:转化与化归、数形结合.
3.常见误区:证明线面平行时,漏写线在面外(内).
学以致用·随堂检测促达标
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4
1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是(　　)
A.平行
B.相交
C.BC α
D.以上均不正确
A
解析 在△ABC中,因为AD∶DB=AE∶EC,
所以BC∥DE.因为BC α,DE α,所以BC∥α.
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2.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
解析 正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
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3.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=　　　　　.
5
解析 因为AB∥平面α,AB 平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN.又点M是AD的中点,AB∥CD,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5.
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4.在如图所示的几何体中,四边形DCFE为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,若线段AC上存在点M,使AE∥平面FDM,求 的值.
1
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解 如图所示,连接DF,设DF∩CE=N,连接MN.
本 课 结 束

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