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第六章
5.1　直线与平面垂直
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.借助常见几何体了解直线与平面垂直的定义,了解直线与平面的夹角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的性质定理,并会用定理证明相关问题.
3.掌握直线与平面垂直的判定定理,并会用定理判定线面垂直.
4.会求简单的空间距离问题(点面距离、线面距离、面面距离).
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　直线与平面垂直的定义
定义 一般地,如果直线l与平面α内的　　　　　直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直
记法 　　　
有关概念 直线l称为平面α的　　　　,平面α称为直线l的　　　　　,它们唯一的公共点P称为　　　　
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任何一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
名师点睛
过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条,该点与垂足间的线段称为这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度称为这个点到该平面的距离.
思考辨析
直棱柱的侧棱与底面内的每一条边都垂直吗
提示 垂直.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内所有直线垂直,则这条直线垂直于这个平面.(　　)
(2)过平面内一点垂直于该平面的直线有且只有一条.(　　)
(3)过平面外一点垂直于该平面的直线有无数条.(　　)
√
√
×
2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中,
(1)与直线AB垂直的直线有　　　　条;
(2)与直线AB异面且垂直的直线有　　　　条;
(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有　　　　条;
(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线　　　　.
8
4
4
AA'
知识点二　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　　　
符号语言
图形语言
平行
思考辨析
垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗
提示 共面,由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于这个平面内的所有
直线.(　　)
(2)垂直于同一直线的两个平面互相平行.(　　)
(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(　　)
√
√
×
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1,则(　　)
A.B1B⊥l
B.B1B∥l
C.B1B与l异面但不垂直
D.B1B与l相交但不垂直
B
解析 因为B1B⊥平面A1B1C1D1,且l⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B.
知识点三　直线与平面的夹角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面α　　　　,但不与这个平面 　　　　,这条直线称为这个平面的斜线,如图中直线PA
斜足 斜线和平面的　　　　,如图中点A 投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作　　　　,过 　　　　和　　　　的直线AO称为斜线在这个平面上的投影 相交
垂直
交点
垂线
垂足O　
斜足A
直线与 平面的 夹角 定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角,如图中∠PAO.

在平面α内,所有过点A的直线与斜线PA所成的锐角或直角中, ∠PAO为最小的那个
规定:一条直线垂直于平面,它们的夹角是　　　　;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是　　　　
直角
0°
名师点睛
1.直线与平面所成的角是通过线线角来刻画的.
2.直线(斜线)与平面内的直线所成的角是不唯一的,而斜线与它在平面上的投影所成的角是唯一的,也是斜线与平面内的直线所成角中最小的一个.
自主诊断
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　; 直线AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　;直线AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　.
45°
45°
0°
解析 ∠B1AB为直线AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为直线AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;直线AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
知识点四　直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的　 　　　　垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α,b α,l⊥a,l⊥b,　　　　 l⊥α
“由线线垂直到线面垂直”
图形语言
两条相交直线
a∩b=A
名师点睛
理解线面垂直的判定定理注意以下几点:
(1)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.
(2)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.
(3)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在解题过程中要反复交替使用.
思考辨析
若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗
提示 当这两条直线平行时,直线可与平面平行或相交或在平面内,不一定垂直.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面
垂直.(　　)
(2)若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.(　　)
(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.(　　)
(4)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.(　　)
×
×
√
×
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
C
重难探究·能力素养速提升
探究点一　直线与平面垂直的判定定理的应用
【例1】 如图所示,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC中点为D.求证:SD⊥平面ABC.
证明 因为SA=SC,D为AC中点,所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=DC=BD,
又SA=SB,所以△SDA≌△SDB.
所以∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
变式探究在本例条件下,若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明 因为BA=BC,D为AC中点,
所以BD⊥AC.因为SD⊥平面ABC,BD 平面ABC,
所以BD⊥SD,因为AC与SD都在平面SAC内且相交,
所以BD⊥平面SAC.
规律方法　判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.
另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:
(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.
探究点二　求直线与平面所成的角
【例2】 (1)[2024北京东城高二检测]如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AA1=2,则直线AB1与平面AA1C1C所成角的余弦值为(　　)
A
解析 取A1C1的中点D,连接B1D,AD,如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,∴B1D⊥A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1,B1D 平面A1B1C1,
∴CC1⊥B1D.
又CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1 平面AA1C1C,∴B1D⊥平面AA1C1C,
∴∠B1AD为直线AB1与平面AA1C1C所成角.
∵B1D⊥平面AA1C1C,AD 平面AA1C1C,∴B1D⊥AD.
故选A.
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B和平面A1DCB1的夹角为　 .
30°　
解析 连接BC1,BC1与B1C相交于点O,连接A1O,设正方体的棱长为a.
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∵BC1 平面BCC1B1,A1B1 平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1.
又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C 平面A1DCB1,
∴BC1⊥平面A1DCB1.
∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影,
∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
∴∠BA1O=30°,
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
规律方法　求直线与平面的夹角的方法
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
变式训练1如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC的夹角为　 .
45°
解析 因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC的夹角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC的夹角为45°.
探究点三　直线与平面垂直的性质定理的应用
【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD, AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN.
证明 因为AB⊥平面PAD,AE 平面PAD,
所以AE⊥AB.
又AB∥CD,所以AE⊥CD.
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,CD 平面PCD,PD 平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC 平面PCD,CD 平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.
规律方法　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.
变式训练2如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,a α,a⊥AB.求证:a∥l.
证明 因为PA⊥α,l α,所以PA⊥l.
同理PB⊥l.
因为PA∩PB=P,PA 平面PAB,PB 平面PAB,
所以l⊥平面PAB.又因为PA⊥α,a α,所以PA⊥a.
因为a⊥AB,PA∩AB=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB,所以a⊥平面PAB.所以a∥l.
探究点四　距离问题
【例4】 如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
解 过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO.
所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
规律方法　求点到平面距离的基本步骤
(1)找到或作出要求的距离;
(2)使所求距离在某一个三角形中;
(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.
变式训练3已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为 ,那么P到平面ABC的距离为　　　　　.
解析 作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,
所以CD⊥平面PDO,OD 平面PDO,所以CD⊥OD.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)直线与平面垂直的定义;
(2)直线与平面垂直的性质定理;
(3)直线与平面垂直的判定定理;
(4)直线与平面所成的角.
2.方法归纳:数形结合、转化思想.
3.常见误区:忽略判定定理中在平面内找的两条直线必须是相交直线.
学以致用·随堂检测促达标
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1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是(　　)
A.①③ B.①② C.②④ D.①④
A
解析 三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是①③.
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2.若点A,B在平面α的同侧,且点A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
A
解析 如图,∵AC⊥平面α,BD⊥平面α,∴AC∥BD.又AC=3,BD=5,EF⊥平面α,∴EF∥AC,EF= (AC+BD)=4.
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3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是(　　)
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB
B
解析 ∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1 平面A1DB1,∴AD1⊥平面A1DB1.
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4.下列说法正确的是　　　　　.
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内;
②过空间中任意三点有且仅有一个平面;
③若空间两条直线不相交,则这两条直线平行;
④若直线l 平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
①④
解析 对于①,如图:
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内,故①正确;
对于②,过空间中不在同一直线上的三点有且仅有一个平面,故②错误;
对于③,若空间两条直线不相交,则这两条直线平行或异面,故③错误;
对于④,若直线l 平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l,故④正确.
所以正确的是①④.
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5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,在四边形ABCD中,AB⊥AD, BC∥AD,AB=BC= AD,E为PD的中点.求证:
(1)CE∥平面PAB;
(2)CD⊥平面PAC.
证明 (1)取PA的中点F,连接EF,BF.
∵E为PD的中点,
∴EF∥AD,且EF= AD.
又BC∥AD,且BC= AD,
∴EF∥BC,且EF=BC,得四边形EFBC是平行四边形,
∴CE∥FB.
∵FB 平面PAB,CE 平面PAB,∴CE∥平面PAB.
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∴AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
由直线与平面垂直的性质可得CD⊥PA,
而PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,∴CD⊥平面PAC.
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本 课 结 束

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