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第六章
5.2　平面与平面垂直
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解二面角及其平面角的概念并初步理解二面角的平面角的一般作法.
2.理解两个平面互相垂直的定义,并能用符号语言进行描述.
3.掌握面面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理,并能利用定理解决相关证明问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　二面角及相关概念
1.一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为　　　　　　　. 　 　 空间角
2.从一条直线出发的　　　　　　　所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的　　　　,这两个半平面称为二面角的　　　　.如图,以直线AB(l)为棱、半平面α,β为面的二面角,记作二面角　 　或
　　　　　　.
半平面
两个半平面
棱
面　
α-AB-β
α-l-β
3.画法:
4.以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线的夹角称为二面角的平面角,如图中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.
点O∈l;OA⊥l,OB⊥l;OA α,OB β
名师点睛
理解二面角及其平面角
(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.
(2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
(3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补.
思考辨析
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别是哪些二面角 这些二面角各是多少度
提示 可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(　　)
(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.(　　)
√
√
2.[2024湖北武汉高二月考]在四面体ABCD中,已知△ABD为等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,斜边AB=4,CD=2 ,则二面角C-AB-D的大小为(　　)
A
解析 在四面体ABCD中,取AB的中点O,连接CO,DO,如图.由题得, OC⊥AB,OD⊥AB,因此∠COD是二面角C-AB-D的平面角.在△COD中,
知识点二　平面与平面垂直的性质定理
1.平面角是直角的二面角称为直二面角.
两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作:α⊥β.
2.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图所示.
3.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的　　　　,那么这条直线与另一个平面　　　　
符号语言 α⊥β,α∩β=MN,AB β,AB⊥MN AB⊥α
图形语言
交线
垂直
文字语言 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内
符号语言 α⊥β,P∈α,P∈m,m⊥β m α
图形语言
拓展:
名师点睛
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理可简记为“面面垂直,则线面垂直”,该定理可以作为判断线面垂直的方法,即只要两个平面垂直,那么在其中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直.
(2)应用定理的三个条件:
①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须与交线垂直.
思考辨析
过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面
提示 无数个.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.(　　)
(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.(　　)
(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.(　　)
×
√
×
2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME⊥AB于点E,则(　　)
A.ME⊥平面ABCD
B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD
D.以上都有可能
A
解析 由于ME 平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,且平面ABB1A1⊥平面ABCD,ME⊥AB,则ME⊥平面ABCD.
知识点三　平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的　　　　,那么这两个平面垂直
符号语言 　　　　,l⊥α β⊥α
图形语言
垂线
l β
名师点睛
理解面面垂直的判定定理注意以下几点:
(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.
(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.
思考辨析
两个平面不垂直,能否从一个平面内找到一条直线与另一个平面中的所有直线都垂直
提示 不能,如能找到一条直线,那么这条直线垂直于另一平面,此时两个平面垂直,与已知矛盾.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一个二面角的平面角为90°,则这个二面角的两个半平面所在的平面垂直.(　　)
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β.(　　)
(3)若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ.(　　)
(4)若l⊥α,l∥β,则α⊥β.(　　)
(5)若l⊥n,m⊥n,l β,m β,n α,则α⊥β.(　　)
√
√
×
√
×
2.[人教A版教材习题]如图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么
解平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.
理由:因为AB⊥平面BCD,AB 平面ABC,AB 平面ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.
因为AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,所以AB⊥CD.
又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.
因为CD 平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求二面角的大小
【例1】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中:
(1)二面角D'-AB-D的大小为　　　　　.
(2)二面角A'-AB-D的大小为　　　　　.
45°
90°
解析 (1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面A'D'DA,所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面A'D'DA,所以AB⊥AD,AB⊥AA',因此∠A'AD为二面角
A'-AB-D的平面角,又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小为90°.
规律方法　求二面角的平面角的大小的步骤
变式训练1如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)二面角B-PA-D平面角的大小为　　　　;
(2)二面角B-PA-C平面角的大小为　　　.
90°　
45°　
解析 (1)∵PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D平面角的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C平面角的大小为45°.
探究点二　证明两个平面垂直
【例2】 如图,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明 因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图,连接AD,SD,
则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
规律方法　证明平面与平面垂直的两种方法
(1)利用定义.证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
(2)利用面面垂直的判定定理.要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
变式训练2[人教A版教材例题]如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明 ∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.
∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是☉O的直径,
∴∠BCA=90°,即BC⊥AC.
又PA∩AC=A,PA 平面PAC,AC 平面PAC,
∴BC⊥平面PAC.
又BC 平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.
探究点三　面面垂直性质的应用
【例3】 如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC.
证明 在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.
因为平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,所以AD⊥平面VBC.
所以AD⊥BC.
因为VA⊥平面ABC,所以VA⊥BC.
因为AD∩VA=A,且VA 平面VAB,AD 平面VAB,
所以BC⊥平面VAB.
因为AB 平面VAB,所以AB⊥BC.
规律方法　1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
2.平面与平面垂直的其他性质:
(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
变式训练3[人教B版教材例题]如图所示,已知α⊥β,在α与β的交线上取线段AB= ,且AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的长.
解 连接BC.
因为α⊥β,α∩β=AB,BD β,BD⊥AB,
所以BD⊥α.
又因为BC α,所以BD⊥BC,
因此△CBD是直角三角形.
探究点四　面面垂直的判定与性质的综合应用
【例4】 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,点E,F分别是CD,PC的中点.求证:
(1)PA⊥平面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE,
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又BE 平面PAD,AD 平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知四边形ABED为平行四边形,因为AB⊥AD,
所以四边形ABED为矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,PD 平面PAD,所以CD⊥PD.
因为点E,F分别是CD,PC的中点,
所以PD∥EF,所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E,EF,BE 平面BEF,
所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
规律方法　1.在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此,判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.
2.空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时,要通过几何图形自身的特点,如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等,得出题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题,注意利用转化思想来解决.
变式训练4如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,DC⊥BC.求证:平面ABD⊥平面ACD.
证明 ∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,在平面ABC内,作AE⊥BC于点E,
如图,则AE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD,∴AE⊥CD.
又BC⊥CD,AE∩BC=E,AE,BC 平面ABC,
∴CD⊥平面ABC,
又AB 平面ABC,∴AB⊥CD.
又AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,
∴AB⊥平面ACD.
又AB 平面ABD,
∴平面ABD⊥平面ACD.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)二面角的定义、画法和二面角的平面角;
(2)平面与平面垂直的性质定理;
(3)平面与平面垂直的判定定理.
2.方法归纳:构造法、转化法、数形结合.
3.常见误区:(1)二面角的平面角的构造容易不符合定义要求;(2)面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线,与另一个平面垂直.

学以致用·随堂检测促达标
1
2
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1.(多选)已知两个平面互相垂直,给出下列命题,其中真命题是(　　)
A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D.过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面
BD
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2.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=　　　　　.
1
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3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,
PA=PC= a.
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-BC-D的大小.
(1)证明 因为PD=a,DC=a,PC= a,
所以PC2=PD2+DC2.所以PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,
所以PD⊥平面ABCD.
(2)证明 由(1)知PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC.
而四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又BD∩PD=D,所以AC⊥平面PBD.
同时AC 平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.
1
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(3)解由(1)知PD⊥平面ABCD,所以PD⊥BC,
又BC⊥DC,PD∩DC=D,
所以BC⊥平面PDC.所以BC⊥PC.
所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
在Rt△PDC中,PD=DC=a,所以∠PCD=45°.
即二面角P-BC-D的大小是45°.
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